Салах Хаггаг1, Мутаз Рамадан2

1 Египетско-российский университет (Каир 11829, Арабская Республика Египет)
2 Университет Порт-Саида (г. Порт-Саид, Арабская Республика Египет)
1 salah-haggag@eru.edu.eg

Постановка проблемы. Рассматриваются подходы к применению оптимального управления в задачах общей теории относительности

В первом подходе для каждой задачи определена целевая функция. Рассмотрены два примера решений таких задач непосредственно методами оптимального управления.

Во втором подходе в задачах общей теории относительности можно ввести соответствующие целевые функции. Рассмотрены три примера решения таких задач, в рамках которых строятся, соответственно, оптимальная инфляционная вселенная, оптимальные космологическая и звездная модели.

Цель. Сравнить два подхода к применению оптимального управления в задачах общей теории относительности.

Результаты. Полученные результаты показывают, что классическое вариационное исчисление в рассмотренных примерах уступает оптимальному управлению. При оптимальном управлении решение задач общей теории относительности получает дополнительный физический смысл.

Практическая значимость. В задачах общей теории относительности, ранее решавшихся иными способами, можно ввести соответствующие целевые функции. В рамках рассматриваемых примеров строятся, соответственно, оптимальная инфляционная вселенная, оптимальная космологическая модель и оптимальная звездная модели. Данные результаты показывают, что решения подобных задач получают дополнительный физический смысл благодаря применению оптимального управления.

Хаггаг С., Рамадан М. Применение оптимального управления к общей теории относительности // Нелинейный мир. 2024. Т. 22. № 3. С. 35–48. DOI: https://doi.org/10.18127/j20700970-202403-05 (на английском)

1. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. The Mathematical Theory of Control Processes. New York: Interscience. 1962.
2. Liberzon D. Calculus of Variations and Optimal Control Theory. A Concise Introduction. Princeton: Princeton University Press. 2012.
3. Bechhoefer J. Control Theory for Physicists. Cambridge: Cambridge University Press. 2021. https://doi.org/10.1017/ 9780511734809.
4. Misner C.W., Thorne K.S. Wheeler J.A. Gravitation. San Francisco: Freeman. 1973.
5. Rhoades C.E., Ruffini R. Maximum Mass of a Neutron Star. Phys. Rev. Lett. 1974. V. 32. P. 324. DOI: https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.32.324.
6. Oppenheimer J.R., Volkoff G. On Massive Neutron Cores. Phys. Rev. 1939. V. 55. P. 374. DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRev.55.374.
7. Harrison B.K., Thorne K.S., Wakano M., Wheeler J.A. Gravitation Theory and Gravitational Collapse. Chicago: University of Chicago Press. 1965. P. 16–18.
8. Weinberg S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: John Wiley. 1972. P. 306–307.
9. Haggag S., Safko J. The Condition of Hydrostatic Equilibrium of Stellar Models Using Optimal Control. Astrophysics and Space Science. 2003. V. 283. P. 369. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1021684407650.
10. Guth A.H. The Inflationary Universe: a Possible Solution to the Horizon and Flatness Problems. Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 347. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.23.347.
11. Barrow J.D., Graham A.H. Singular Inflation. Phys. Rev. D. 2015. V. 91. P. 083513. DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRevD.91.083513.
12. Parsons P., Barrow J.D. Generalised Scalar Field Potentials and Inflation. Phys. Rev. D. 1995. V. 51. P. 6757. DOI: https:// doi.org/10.1103/PhysRevD.51.6757.
13. Chervon S.V., Zhuravlev V.M., Shchigolev V.K. New Exact Solutions in Standard Inflationary Models. Phys. Lett. 1997. V. 398. P. 269. DOI: https://doi.org/10.1016/S0370-2693(97)00238-4.
14. Barrow J.D. Exact Inflationary Universes with Potential Minima. Phys. Rev. 1994. V. 49. P. 3055. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.49.3055.
15. Zhuravlev V.M., Chervon S.V., Shchigolev V.K. J. of Experim. and Theor. Phys. 1998. V. 87. P. 223. DOI: https://doi.org/10.1134/1.558649.
16. Haggag S., Desokey F., Ramadan M. A Cosmological Inflationary Model Using Optimal Control. Grav. and Cosmol. 2017. V. 23. P. 236. DOI: https://doi.org/10.1134/S0202289317030069.
17. Ozer M., Taha M.O. A Possible Solution to the Main Cosmological Problems. Phys. Lett. 1986. V. B 171. P. 4. DOI: https:// doi.org/10.1016/03702693(86)91421-8.
18. Ozer M., Taha M.O. A Model of the Universe Free of Cosmological Problems. Nuclear Phys. 1987. V. B 287. P. 776. DOI: https://doi.org/10.1016/05503213(87)90128-3.
19. Chen W., Wu Y. Implications of a Cosmological Constant Varying as R−2. Phys. Rev. D. 1990. V. 41. P. 695. DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRevD.41.695.
20. Berman M. Cosmological Models with a Variable Cosmological Term. Phys. Rev. D. 1991. V. 43. P. 1075. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.43.1075.
21. Al-Rawaf A.S., Taha M.O. Cosmology of General Relativity without Energy-Momentum Conservation. Gen. Rel. Grav. 1996. V. 28. P. 935. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02113090.
22. Al-Rawaf A.S. A Cosmological Model with a Generalised Cosmological Constant. Mod. Phys. Lett. 1998. V. A 13. P. 29. DOI: https://doi.org/10.1142/S0217732398000498.
23. Overduin J.M., Cooperstock F.I. Evolution of the Scale Factor with a Variable Cosmological Term. Phys. Rev. 1998. V. D 58. P. 043506. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.58.043506.
24. Arbab A.I. Cosmic Acceleration with a Positive Cosmological Constant. Class. Quantum Gravity. 2003. V. 28. P. 93. DOI: https://doi.org/10.1088/0264-9381/20/1/307.
25. Arbab A.I. Cosmological Consequences of a Built-In Cosmological Constant Model. J. Cosmol. Astro. Phys. 2003. V. 05. P. 008. DOI: https://doi.org/10.1088/1475-7516/2003/05/008.
26. Haggag S., Abdel-Hafeez S.A., Ramadan M. A Closed Universe with Maximum Life-Time Using Optimal Control. 2018. http://arxiv.org/abs/1905.11525.
27. Haggag S. Optimal design of relativistic stellar models. Phys. Scr. 2023. V. 98. P. 115009 DOI: https://doi.org/ 10.1088/1402-4896/acfd64.
28. Bizon P., Malec E., O Murchaha N. Binding energy for spherical stars. Class. Quantum Grav. 1990. V. 7. P. 1953. DOI: https://doi.org/10.1088/0264-9381/7/11/008.
29. Lattimer J.M., Prakash M. Neutron Star Structure and the Equation of State Ap. J. 2001. V. 550. P. 426. DOI: https:// doi.org/10.1086/319702.
30. Tolman R.C. Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid. Phys. Rev. 1939. V. 55. P. 364. DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRev.55.364.
31. Buchdahl H.A. General-Relativistic Fluid Spheres. III. a Static Gaseous Model. Ap. J. 1967. V. 147. P. 310. DOI: https: //doi.org/10.1086/149001.
32. Buchdahl H.A., Land W.J. The relativistic incompressible sphere. J. Aust. Math. Soc. 1968. V. 8. P. 6. DOI: https://doi.org/ 10.1017/S1446788700004559.
33. Eddington A.S. The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press. 1965. P. 122.
34. Cooperstock F.I., Sarracino R.S. Nature. 1976. V. 264. P. 529. DOI: https://doi.org/10.1038/264529a0.
35. Fujisawa A., Saida H., Yoo Ch., Nambu Y. Maximum Mass of a Barotropic Spherical Star. Class. Quantum Grav. 2015.
    V. 32. P. 13. DOI: https://doi.org/10.1088/0264-9381/32/21/215028.
36. Ansel Q. Loop Quantum Gravity with Optimal Control Path Integral, and Application to Black Hole Tunneling. Gen. Rel. Grav. 2022. V. 54. P. 42. DOI: https://doi.org/10.1007/s10714-022-02923-6.
37. Grøn, Ø. Introduction to Einstein’s Theory of Relativity. Second Edition. Switzerland: Springer Nature. 2020. Section 7.6. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-43862-3.