М.П. Сличенко1

1 АО «Концерн «Созвездие» (г. Воронеж, Россия)

Постановка проблемы. На практике широко распространена задача восстановления периодических функций по их дискретным не эквидистантным отсчетам, в особенности, при обработке результатов измерений таких функций. Однако существующий подход по интерполяции неэквидистантным рядом Котельникова приводит к ошибкам, обусловленным усечением бесконечного ряда. Исключить такие ошибки и повысить точность интерполяции позволит модификация ряда Котельникова на основе учета периодичности исходной функции. Наряду с аналитическим представлением исходной функции и ее производной во многих научных задачах актуальным является вычисление интеграла от функции, заданной дискретным множеством отсчетов.

Цель. Сформулировать теоремы о представлении интеграла от периодической функции с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы для функций одной и нескольких переменных.

Результаты. На основе модифицированного ряда Котельникова сформулированы теоремы о представлении интеграла от периодической функции с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы. Показано, что в отличие от использования интерполяционного ряда с ядром вида спектров атомарных функций это представление не требует завышения частоты дискретизации исходной функции, а также позволяет повысить точность интегрирования за счет обнуления ошибки усечения. Полученные результаты обобщены на общий случай интегрирования сложной функции нескольких переменных, когда подынтегральное выражение факторизуется с периодическим множителем, имеющим финитный спектр.

Практическая значимость. Сформулированные теоремы могут найти практическое применение в радиофизике, теории колебаний, оптике, голографии и радиоастрономии, а также при решении задач математической физики, цифровой обработки сигналов и изображений. Применение данных теорем в электродинамике и теории антенн даст возможность повысить точность расчета характеристик электромагнитного поля излучения по результатам измерений (например, выразить коэффициент направленного действия антенны через отсчеты ее диаграммы направленности).

Сличенко М.П. Теоремы о представлении интеграла от периодической функции с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы // Радиотехника. 2023. Т. 87. № 5. С. 134−142. DOI: https://doi.org/10.18127/j00338486-202305-14

1. Бахрах Л.Д., Бененсон Л.С., Зелкин Е.Г. и др. Справочник по антенной технике. Т. 1 / Под ред. Я.Н. Фельда, Е.Г. Зелкина. М.: ИПРЖР. 1997. 256 с.
2. Шифрин Я.С. Вопросы статистической теории антенн. М.: Советское радио. 1970. 384 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти томах. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит. 2019. 656 c.
4. Артёмов М. Л., Борисов В.И., Маковий В.А., Сличенко М.П. Автоматизированные системы управления, радиосвязи и радиоэлектронной борьбы. Основы теории и принципы построения / Под ред. М.Л. Артемова. М.: Радиотехника. 2021. 556 с.
5. Артёмов М.Л., Афанасьев О.В., Сличенко М.П. Обнаружение и пеленгование источников радиоизлучений в рамках теории статистической радиотехники // Радиотехника. 2016. № 5. С. 4-18.
6. Артёмов М.Л., Афанасьев О.В., Сличенко М.П. Методы статистической радиотехники в современном решении задач радиомониторинга // Антенны. 2016. № 6. С. 55-62.
7. Артёмов М.Л., Сличенко М.П. Современный подход к развитию методов пеленгования радиоволн источников радиоизлучения // Антенны. 2018. № 5. С. 31-37.
8. Дмитриев И.С., Сличенко М.П. Максимально правдоподобное обнаружение и оценивание направления прихода и амплитуды напряженности радиоволны с помощью многоканального радиопеленгатора с антенной системой произвольной конфигурации // Антенны. 2011. № 5. С. 59-64.
9. Дмитриев И.С., Сличенко М.П. Представление периодических функций с финитным спектром Фурье модифицированным рядом Котельникова // Радиотехника и электроника. 2015. Т. 60. № 5. С. 529-534.
10. Сличенко М.П. Представление многомерных периодических функций в виде конечной взвешенной суммы отсчетных значений // Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59. № 10. С. 1042-1049.
11. Дмитриев И.С., Сличенко М.П. Особенности интерполяции 2π-периодических функций с финитным спектром Фурье на основе теоремы отсчетов. // Журнал радиоэлектроники РАН. 2014. №1
12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022663188 от 12.07.2022. Программа расчета значений диаграммы направленности антенны с помощью модифицированного эквидистантного ряда Котельникова. / Завалишина О.Н., Сличенко М.П.
13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022663759 от 19.07.2022. Программа расчета значений первой производной азимутальной диаграммы направленности антенны с помощью модифицированного эквидистантного ряда Котельникова. / Артемов М.Л., Афанасьев О.В., Ильин М.Ю., Завалишина О.Н.
14. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022663088 от 11.07.2022. Программа расчета значений азимутальной диаграммы направленности антенны с помощью модифицированного неэквидистантного ряда Котельникова. / Артемов М.Л., Афанасьев О.В., Завалишина О.Н., Сличенко М.П.
15. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Гусевский В.И. Конструктивные методы аппроксимации в теории антенн. М.: Сайнс-Пресс. 2005. 512 с.
16. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит. 2006. 412 с.
17. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника. 2003. 512 с.
18. Weideman J.A.C. Numerical integration of periodic functions. The mathematical association of America. Monthly 109 January 2002. P. 21-36.
19. Джерри.А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. ТИИЭР // ТИИЭР. 1977. Т. 65. № 11. С. 53-89.