К.И. Конов, К.Н. Климов

ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»  (Москва, Россия)

Постановка проблемы. При решении задач о распространении электромагнитных волн в тех случаях, когда размер неоднородностей много больше длины волны, используются методы геометрической оптики. Для определения траектории луча в приближении геометрической оптики требуется решить задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Цель. Провести исследование и получить оценку сходимости к точному решению алгоритма интегрирования с выбором переменной интегрирования на каждом шаге на примере задачи расчета траекторий лучей в линзе Люнеберга.

Результаты. Дано описание алгоритма интегрирования с выбором переменной интегрирования на каждом шаге при численном построении траекторий лучей в среде с заданной зависимостью диэлектрической проницаемости от координат. Проведена оценка сходимости вычислений к точному решению на примере задачи расчета траекторий лучей в линзе Люнеберга. Показано, что при уменьшении шага сетки наблюдается сходимость к точному решению. Рассчитаны траектории лучей, падающих параллельно оси ординат и под углом к оси ординат.

Практическая значимость. Показано, что алгоритм интегрирования с выбором переменной на каждом шаге обеспечивает построение траекторий лучей с ошибкой по координате, не превышающей шаг сетки для задачи распространения лучей в линзе Люнеберга.

Конов К.И., Климов К.Н. Исследование сходимости алгоритма интегрирования с выбором переменной интегрирования на каждом шаге на примере линзы Люнеберга // Радиотехника. 2021. Т. 85. № 8. С. 69−79. DOI: https://doi.org/10.18127/j00338486-202108-08

1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1954. 
2. Кравцов А.Ю., Орлов Ю.И. Каустики, катастрофы и волновые поля // УМН. 1983. Т. 141. № 4. С. 591–627.  
3. Литвинов О.С., Горелик В.С. Электромагнитные волны и оптика. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2006. 448 с. 
4. Татарников Д.В., Генералов А.А. Вогнутые полупрозрачные экраны для отсечки поля в нерабочей области углов антенны // Антенны. 2018. № 10(254). С. 3−14. 
5. Бобрешов А.М., Маркова Е.А., Усков Г.К. Синтез неоднородной диэлектрической среды для улучшения направленных характеристик биконической антенны // Антенны. 2018. № 7(251). С. 33−39. 
6. Инденбом М.В. Передающие антенны MMDS. Ч. 2. Методы расчета // Антенны. 2009. № 6(145). С. 25−30. 
7. Кольцов М.В., Раевский А.С., Раевский С.Б. Расчет линз Френеля для антенн субмиллиметрового диапазона // Антенны. 2012. № 10(185). 
8. Zhaolou Cao, Fenping Cui, Fenglin Xian, Jinhua Li, Shixin Pei. Geometrical optics approximation for plane-wave scattering by a rectangular groove on a surface // Appl. Opt. 2020. V. 59. Р. 2600−2605. 
9. Núñez M. On the second order geometric optics approximation to fast magnetosonic waves // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2020. № 82. Р. 105032. 
10. Bass F., Freilikher V., Maradudin A.A., Prosentsov V. Geometrical optics approximation for nonlinear equations // SIAM J. Appl. Math. 2004. № 64. Р. 1125–1132. 
11. Zhai Mengran, Lü Qieni, Zhang Hongxia, Zhang Yinxin. Coated sphere scattering by geometric optics approximation // J. Opt. Soc. Am. 2014. V. A31. Р. 2160−2169. 
12. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука. 1980. 360 с. 
13. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. M.: Nauka. 1978. 
14. Конов К.И. Решение задачи Коши численным методом с выбором переменной интегрирования на каждом шаге // Инновационные, информационные и коммуникационные технологии. 2018. № 1. С. 545−550. 
15. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2005. 
16. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1972. 
17. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 592 с. 
18. Li Ming, Chen CS, Hon YC. A meshless method for solving nonhomogeneous Cauchy problems / Engineering Analysis with Boundary Elements. 2011. V. 35. P. 499−506. 
19. Jin B. A meshless method for the Laplace and Biharmonic equations subjected to noisy boundary data // Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2004. V. 6, № 3. Р. 253−261. 
20. Ryaben’kii V.S. Method of Difference Potentials and Its Applications. Springer Series in Computational Mathematics. Berlin, Heidelberg. 2002. V. 30.
21. Kal’menov T.Sh., Iskakova U.A. A method for solving the Cauchy problem for the Laplace equation // Doklady Mathematics. 2008. V. 78, № 3. Р. 874–876. 
22. Rusov V.A., Doroshenko A.Y. Numerical Method to Solve the Cauchy Problem with Previous History // Cybern. Syst. Anal. 2017. № 53. Р. 34–56. 
23. Achieng P., Berntsson F., Chepkorir J., et al. Analysis of Dirichlet–Robin Iterations for Solving the Cauchy Problem for Elliptic Equations // Bull. Iran. Math. Soc. 2020. 
24. Berntsson F., Kozlov V.A., Mpinganzima L., Turesson B.O. An alternating iterative procedure for the Cauchy problem for the Helmholtz equation // Inverse Probl. Sci. Eng. 2014. V. 22, № 1. Р. 45–62. 
25. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959. 916 с. 
26. Перфильев В.В., Степанов Е.С., Климов К.Н. Методика выбора переменной интегрирования при численном построении траекторий лучей в неоднородных диэлектрических средах // Радиотехника и электроника. 2016. Т. 61. № 12. 
27. Климов К.Н., Конов К.И. Методика выбора переменной интегрирования при численном моделировании траекторий лучей в неоднородных средах // Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов. 2018. Т. 9. № 4. С. 57−68. 
28. Klimov K.N., Konov K.I. Modification of the Integration Variable Selection Method in Numerical Simulation of Electromagnetic Wave Propagation in the Time Domain // 2019 International Seminar on Electron Devices Design and Production (SED 2019). Prague, Czech Republic. 2019. Р. 1−5. 
29. Конов К.И. Методика выбора переменной интегрирования при численном решений электродинамических задач в геометрооптическом приближении // Материалы Межвуз. науч.-технич. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В. Арменского ( Москва, 17 февраля – 01 2017 г.). М.: Московский институт электроники и математики НИУ ВШЭ. 2017. С. 273−274.
30. Конов К.И. Алгоритм интегрирования с выбором переменной интегрирования на каждом шаге // Инновационные, информационные и коммуникационные технологии. 2017. № 1. С. 621−626. 
31. Klimov K.N., Epaneshnikova I.K., Belevtsev A.M., et al. Development of the integration variable selection method in numerical simulation of electromagnetic wave propagation in the time domain mode // Proceedings of SPIE. The International Society for Optical Engineering. Strasbourg. 2019. P. 111640I. DOI 10.1117/12.2547837.
32. Конов К.И. Описание алгоритма интегрирования системы дифференциальных уравнений с выбором переменной интегрирования и исследование его сходимости // Материалы науч.-технич. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В. Арменского ( Москва, 17 февраля – 01 2017 г.). М.: Московский институт электроники и математики НИУ ВШЭ. М.: Московский институт электроники и математики НИУ ВШЭ. 2018. С. 151−152.
33. Конов К.И., Климов К.Н. Оценка погрешности при численном моделировании траекторий лучей с использованием алгоритма выбора переменной интегрирования // Тезисы докладов Междунар. науч. конф. «Математическое моделирование в электродинамике: теория, методы и приложения» (Пенза, 23–27 сентября 2019 г.) / Под ред. Ю.Г. Смирнова. Пенза:  Пензенский гос. ун-т. 2019. С. 59−60.
34. Klimov K.N., Konov K.I., Belevtsev A.M., et al. Assessment of the accuracy of the integration variable selection method and its practical application terahertz range // Proceedings of SPIE «The International Society for Optical Engineering». Virtual, online, 21–25 сентября 2020; virtual, online, 2020. P. 115410L. DOI 10.1117/12.2582075.
35. Luneburg R.K. Theory of Optics. Brown University, Providence, Rhode Island. 1944. P. 189−213. 
36. Morgan S.P. General Solution of the Luneberg Lens Problem // J. Appl. Phys. 1958. V. 29. № 9. P. 1358. 
37. Голубятников А.В., Каценеленбаум Б.З. // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 12. 
38. Голубятников А.В., Каценеленбаум Б.З. Линза Люнеберга из кубиков. Геометрический расчет // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24. № 15. 
39. Калошин В.А., Стоянов С. Замедляющие свойства слоистых диэлектрических структур // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. № 12. 
40. Калошин В.А., Щербенков В.Я. Обобщение задачи Люнеберга для анизотропной среды // Радиотехника и электроника. 1973. Т. 18. № 1. 
41. Ахияров В.В., Калошин В.А., Никитин Е.А. Исследование широкополосных планарных линз Люнебурга // Журнал радиоэлектроники. 2014. № 1. С. 17. 
42. Kuhn R. Microwellenantennen. Berlin: Veb Verlag Technik. 1967. 
43. Веселаго В.Г. О формулировке принципа Ферма для света, распространяющегося в веществах с отрицательным преломлением // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. № 10.