В.М. Советов

16 Центральный научно-исследовательский испытательный ордена Красной Звезды институт Министерства обороны Российской Федерации им. маршала войск связи А.И. Белова (Москва, Россия)

Постановка проблемы. Использование ортогональных операторов для получения выигрыша в помехоустойчивости при передаче информации и сокращения времени поиска сложных сигналов были рассмотрены в [1–2]. Позднее, в [3] такая схема получила название «много входов – много выходов» (Multiple-Input Multiple-Output – MIMO), а в [4] сделано обобщение формулы Шеннона пропускной способности для MIMO-канала. В [5–8] рассмотрено использование в схеме MIMO гиперкомплексных сигналов, в частности, кватернионов. При анализе работы таких схем и расчета их помехоустойчивости возникает необходимость в спектральном представлении сигналов MIMO.

Цель. Предложить методику получения преобразования Фурье четырехмерного (4М) вектора импульсов, связанных между собой схемой MIMO, и рассмотреть примеры ее использования для наиболее распространенных в радиотехнике импульсов. Результаты. Представлена методика вычисления кватернионного преобразования Фурье (КПФ) четырехмерного вектора импульсов, связанных между собой схемой MIMO. Показано, что полученный кватернион равен матричной экспоненте с матрицей перехода состояний в степени экспоненты и соответствует фундаментальной матрице дифференциального уравнения. КПФ представлено в виде матрицы спектральных составляющих, при умножении которой на вектор амплитуд импульсов получаются четыре спектра импульсов. Доказано, что вычисленный КПФ удовлетворяет теореме Парсеваля. Приведены примеры вычисления КПФ последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов. Рассмотрено применение инверсного КПФ для импульсов с различным сдвигом во времени. Дано представление и основные свойства 4М дельта-кватерниона или дельта-массы Дирака (Dirac delta mass).

Практическая значимость. Представленная методика вычисления КПФ в матричном представлении кватерниона позволяет вычислить преобразование Фурье 4М-вектора различных импульсов в векторе с произвольной амплитудой и сдвигом, связанных между собой схемой MIMO.

Советов В.М. Кватернионное преобразование Фурье вектора импульсов // Радиотехника. 2021. Т. 85. № 2.  С. 83−94. DOI: 10.18127/j00338486-202102-13.

1. Советов В.М. Использование сложных сигналов, образованных ортогональными операторами, для ускорения вхождения в синхронизм // Радиотехника 1989. № 4.
2. Советов В.М. Оптимальный приемник сложных сигналов, образованных ортогональными операторами // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. 1990. № 4. 
3. Alamouti S.M. A simple transmit diversity technique for wireless communications // IEEE J. Select. Areas Commun. 1998. V. 16.  P. 1451–1458. 
4. I Emre Telatar // Capacity of Multi-antenna Gaussian Channels. Emerging Telecommunications Technologies. 1999. V. 10. Is. 6.  P. 569–709.
5. Советов В.М. Пространственная фазовая манипуляция кватернионного сигнала // Специальная техника. 2016. № 5. С. 7–15.
6. Советов В.М., Жужома В.М., Назаров О.В. Реализация схемы MIMO с использованием представления несущей динамической моделью в пространстве состояний // Успехи современной радиоэлектроники 2016. № 8. С. 28–35.
7. Советов В.М. Синтез оптимального приемника гиперкомплексных сигналов // Специальная техника. 2017. № 2. С. 2–10.
8. Советов В.М. Относительная фазовая манипуляция кватернионной несущей // Успехи современной радиоэлектроники. 2018. № 1. С. 20–27.
9. Фурман Я.А. Комплексные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов. М.: Физматлит. 2004. 456 с.
10. Morais J.P. Real Quaternionic Calculus Handbook.
11. Kuhn V. Wireless Communications over MIMO Channels – Applications to CDMA and Multiple Antenna.
12. Biglieri E. MIMO Wireless Communications. 2007.
13. Le Chung Tran Complex Orthogonal Space-Time Processing in Wireless Communications. 2006.
14. Hitzer E. Quaternion Domain Fourier Transform. International Christian University, Mitaka. Mathematics Subject Classification (2000). Primary 11R52; Secondary 42A38, 15A66.
15. Bülow T. Hypercomplex Spectral Signal Representations for the Processing and Analysis of Images. Bericht Nr. 9903 August 1999.
16. Guicheng Yang, Yingxiong Fu. Spectrum of Signals on the Quaternion Fourier Transform Domain. Journal of Applied Mathematics and Physics. 2013. № 1. P. 36–38.
17. Ell T.A., Le Bihan N., Sangwine S.J. Quaternion Fourier Transforms for Signal and Image Processing. Wiley-ISTE. 2014.
18. Vikas R. Dubey Quaternion Fourier Transform for Colour Images. International Journal of Computer Science and Information Technologies. 2014. V. 5(3). P. 4411–4416.
19. Krantz S.G. Geometric Function Theory, Explorations in Complex Analysis-Birkhäuser. Boston. 2006.