О.В. Дружинина1, В.Л. Воронцова2, Д.С. Зайцев3,  М.А. Кабанов4, А.А. Шмелькова5

1 ФИЦ «Информатика и управление» РАН (Москва, Россия)

2 Казанский (Приволжский) федеральный университет (г. Казань, Республика Татарстан)

3,4 Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина (г. Елец, Липецкая обл.)

5 Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Калуга, Россия)

Постановка проблемы. Решение задач синтеза и анализа многомерных нелинейных динамических моделей социально-экономических процессов связано с построением и изучением систем дифференциальных уравнений различных типов, в том числе систем дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. В этом случае возникает необходимость перехода к моделям с различной степенью приближения, которые задаются системами, схожими с системой Лоренца и ее обобщениями (в частности, для описания микроэкономических процессов используется модель Шаповалова, называемая моделью средней фирмы). Следовательно, построение и развитие подхода к изучению многомерных нелинейных динамических моделей, описывающих процессы микроэкономики, на основе применения методов качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления актуально. Цель. Провести исследование устойчивости некоторых типов нелинейных динамических моделей, описывающих динамику развития и взаимодействия предприятий отрасли и предложить подход к изучению многомерных нелинейных динамических моделей, описывающих процессы микроэкономики, на основе применения методов качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления.

Результаты. Рассмотрены модели, описываемые системами дифференциальных уравнений, которые представляют собой модификации и обобщения модели Шаповалова (модели средней фирмы), с учетом факторов стационарности и нестационарности моделей, а также приведена формализация соответствующих задач управления [4]. Предложен подход к построению девятимерной модели развития предприятий и ее нечетких и стохастических обобщений. Выполнено качественное исследование устойчивости с учетом ее различных типов с применением метода функций Ляпунова [5–7] и принципа редукции задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости других типов уравнений [7–10], на основе которого проведен сравнительный анализ качественных свойств математических моделей при переходе от детерминированного описания к недетерминированному, а также обосновано построение моделей того или иного типа. Описано построение ряда моделей социально-экономических процессов с управляющими воздействиями и предложен алгоритм построения оптимальных траекторий на основе методов численной оптимизации и машинного обучения.

Практическая значимость. Результаты исследования могут найти применение в задачах синтеза, качественного анализа и компьютерного моделирования динамических систем, а также в задачах оптимизации. 

Дружинина О.В., Воронцова В.Л., Зайцев Д.С., Кабанов М.А., Шмелькова А.А. Построение и анализ многомерных нелинейных динамических моделей социально-экономических процессов // Нелинейный мир. 2021. Т. 19. № 4. С. 5−14. DOI: https://doi.org/10.18127/j20700970-202104-01

1. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика. 1985. 
2. Андрианов Д.Л., Арбузов В.О., Ивлиев С.В., Максимов В.П., Симонов П.М. Динамические модели экономики: теория, приложения, программная реализация // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика». 2015. № 4(27).  С. 8−32. 
3. Цыганова М.С. Моделирование экономических процессов и систем. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2016. 
4. Шаповалов В.И., Каблов В.Ф., Башмаков В.А., Авакумов В.Е. Синергетическая модель устойчивости средней фирмы // Синергетика и проблемы теории управления. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. С. 454–464.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: МГУ. 1998.
6. Филатов А.Н. Теория устойчивости. М.: ИВМ РАН. 2002.
7. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС. 2007. 
8. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. М.: РУДН. 2000. 
9. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН. 2009.
10. Дружинина О.В., Масина О.Н. Системный подход к исследованию устойчивости моделей, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов // Вестник Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 2015. T. 15. № 3. С. 24–30.
11. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. М.: Мир. 1981. С. 88–116.
12. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. М.: КомКнига. 2006.  
13. Гурина Т.А., Дорофеев И.А. Существование гомоклинической бабочки в модели устойчивости средней фирмы // Динамические системы. 2010. Вып. 28. С. 63–68.
14. Гладких О.Б., Лисовский Е.В., Людаговская М.А., Оборотов А.В., Петрова С.Н. Построение и компьютерное моделирование трехмерных динамических моделей с хаотическими режимами // Нелинейный мир. 2019.Т. 17. № 5.  С. 67–75. 
15. Щербаков А.В., Гладких О.Б., Петрова С.Н., Воронцова В.Л. Качественные свойства конечномерных нелинейных динамических моделей // Нелинейный мир. 2020. Т. 18. №5. С. 15–23.
16. Demidova A.V., Druzhinina O.V., Masina O.N., Petrov A.A. Computer research of the controlled models with migration flows // CEUR Workshop Proceedings. 2020 V. 2639 P. 117–129. 
17. Петров А.А., Дружинина О.В., Масина О.Н., Щербаков А.В. Задача поиска оптимальных траекторий для управляемой популяционной модели, учитывающей конкуренцию и миграцию // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика и информационные технологии. 2020. № 2. С. 41–54. 
18. Price K.., Storn R., Lampinen J. Differential Evolution: A Practical Approach to Global Optimization. Springer. 2005.
19. Дружинина О.В. Индекс, дивергенция и функции Ляпунова в качественной теории динамических систем. М.: Изд. группа URSS. 2013.
20. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы анализа устойчивости динамических систем интеллектного управления. М.: Изд. группа URSS. 2016.
21. Игонина Е.В., Масина О.Н., Дружинина О.В. Анализ устойчивости динамических систем на основе методов интеллектного управления и свойств линейных матричных неравенств. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина. 2020.