Дж. Фоукзон¹, А.А. Потапов², Е.Р. Менькова³

1 Израильский технологический институт (г. Хайфа, Израиль)

2 ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН (Москва, Россия);

3 ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений»  Росстандарта (Москва, Россия)

Постановка проблемы. Классическое решение Шварцшильда в современной общей теории относительности невозможно, так как связь Леви-Чевиты не существует для полного пространства−времени Шварцшильда, где Sch=×{({r ≥ 2m}U{0 ≤ ≤r 2m})×S2}. Но оно может быть получено с использованием классического метрического

(Sch,gijSch (t r, , ,θϕ))тензора Шварцшильда gijSch; ,i j =1,2,3,4 в алгебре сверхгенерализованных функций Коломбо δ(4,Σ),Σ= ={r 2m} {U r = 0}. Классическое пространство-время Шварцшильда может распространяться на распределительные полуримановые множества(Sch,  g ijSch (t r, , , ,θϕε)ε) , находящиеся на касательном расслоении с распределительным метрическим тензором Коломбо (gijSch,ε)ε@gijSch(t r, , , ,θϕε)ε, ε∈(0,δ] ,

 .

Цель. Разработать новую физическую интерпретацию распределительного скаляра кривизны R rε( )ε  и квадратных скаляров Rεμν( )r Rμνε, ( )r   ε, Rερσμν( )r Rρδμνε, ( )r ε.

Результаты. Исследовано решение Шварцшильда с использованием распределительной геометрии Коломбо в координатах Шварцшильда (t, r, θ, φ). Установлено, что распределительный тензор Риччи и скаляр кривизны представляют собой величины δ -типа, R rε( )ε=−mδ(r−2m) ,>0 .

Практическая значимость. Так как распределительные квадратные скаляры фактически представляют собой неклассические распределения типа Коломбо Rεμν( )r Rμνε, ( )r   ε, Rερσμν( )r Rρσμνε, ( )r ε∈(3 ) \ ′(3 ),  это позволяет по-новому физически интерпретировать распределительный скаляр кривизны Rε( )r ε и квадратные скаляры Rεμν( )r Rμνε, ( )r ε, Rερσμν( )r Rρδμνε, ( )r ε.

Фоукзон Дж., Потапов А.А., Менькова Е.Р. Точечная свободная геометрия Коломбо в сингулярной общей теории относительности // Нелинейный мир. 2021. Т. 19. № 1. С. 58−72. DOI: https://doi.org/10.18127/j20700970-202101-06

1. Colombeau J.F. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. North Holland, Amsterdam. 1984.
2. Colombeau J.F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. North Holland, Amsterdam. 1985.
3. Foukzon J., Potapov A., Men'kova E. Distributional SAdS BH Spacetime-Induced Vacuum Dominance // British Journal  of Mathematics & Computer Science. 2016. V. 13. № 6. Р. 1−54. Article no. BJMCS. 19235. https://doi.org/10.9734/BJMCS/2016/19235
4. Foukzon J., Potapov A., Men'kova E., and Podosenov S. Was Polchinskiwrong ? Colombeau distributional Rindler space-time with distributional Levi-Cività connection induced vacuum dominance. Unruh effect revisited // J. Phys.: Conf. Ser., 2018. 1141 012100.doi:10.1088/1742-6596/1141/1/012100. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1141/1/012100
5. Foukzon J. Colombeau solutions to Einstein field equations. Gravitational singularities.2019. Preprint 28 p. doi: 10.13140/RG.2.2.30613.27365. https://www.researchgate.net/publication/336604292_Colombeau_solutons_v3
6. Euclid, Elements of Geometry /Trans. by R. Fizpatrick. 2008.http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf
7. Tozzi A. and Peters J.F. Towards a point-free physics: why Euclidean geometry is scientifically untenable. Preprint. April 2018.doi: 10.13140/RG.2.2.17187.14881
8. Tozzi A. and Peters J.F. Points and lines inside human brains // Cogn. Neurodyn. 2019. № 13. Р. 417. https://doi.org/10.1007/s11571-019-09539-8
9. ConcilioA.Di. Point-Free Geometries: Proximities and Quasi-Metrics // Mathematics in Computer Science. 2013. V. 7. № 1. March. doi: 10.1007/s11786-013-0140-2 
10. Parker P.E. // J. Math. Phys. 1979. № 20. Р. 1423.
11. Vickers J.A. Distributional geometry in general relativity // Journal of Geometry and Physics. 2012. V. 62. Is. 3. Р. 692−705.https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2011.04.018
12. Vickers J.A., Wilson J.P. Invariance of the distributional curvature of the cone under smooth diffeomorphisms // Class. Quantum Grav. 1999. № 16. Р. 579−588.
13. Vickers J.A. Nonlinear generalized functions in general relativity, in Nonlinear Theory of Generalized Functions. Chapman & Hall/CRC // Research Notes in Mathematics. 1999. № 401. Р. 275−290.Eds. M. Grosser, G. Hörmann, M. Kunzinger,  M. Oberguggenberger (Chapman & Hall CRC, Boca Raton. 1999).
14. Geroch R., Traschen J. Strings and other distributional sources in general relativity // Phys. Rev. D. 1987. №36. Р. 1017−1031. 
15. Balasin H., Nachbagauer H. On the distributional nature of the energy-momentum tensor of a black hole or What curves the Schwarzschild geometry? // Class. Quant. Grav. 1993. № 10. Р. 2271−2278. 
16. Balasin H., Nachbagauer H. Distributional energy-momentum tensor of the Kerr-Newman space-time family // Class. Quant. Grav. 1994. № 11. Р. 1453−1461. 
17. Clarke C.J.S., Vickers J.A., Wilson J.P. Generalized functions and distributional curvature of cosmic strings // Class. Quant. Grav.1996. № 13. Р. 2485−2498. 
18. Pantoja N., Rago H. Energy-momentum tensor valued distributions for the Schwarzschild and Reissner-Nordstrømgeometries. Preprint, gr-qc/9710072. 1997. 
19. Pantoja N., Rago H. Distributional sources in General Relativity: Two point-like examples revisited. Preprint, gr-qc/0009053. 2000. 
20. Kunzinger M., Steinbauer R. Nonlinear distributional geometry // Acta Appl. Math. 2001. 
21. Kunzinger M., Steinbauer R. Generalized pseudo-Riemannian geometry. Preprint, mathFA/0107057. 2001. 
22. Grosser M., Farkas E., Kunzinger M., Steinbauer R. On the foundations of nonlinear generalized functions I, II // Mem. Am. Math. Soc. 2001.№ 153. Р. 729. 
23. Grosser M., Kunzinger M., Steinbauer R., Vickers J. A global theory of nonlinear generalized functions // Adv. Math., to appear 2001. 
24. Schwartz L., Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions // C. R. Acad. Sci. Paris.1954. № 239. Р. 847−848. 
25. Gelfand I.M., Schilov G.E. Generalized functions. V. I: Properties and operations. New York, London. Academic Press.1964. 
26. Parker P. Distributional geometry // J. Math. Phys. 1979. № 20. Р. 1423−1426. 
27. Debney G., Kerr R., Schild A. Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell equations // J. Math. Phys.1969. №10. Р. 1842−1854.
28. Heinzle J.M., Steinbauer R. Remarks on the distributional Schwarzschild geometry. Preprint, gr-qc/0112047. 2001. 
29. Abramowitz M., Stegun I.A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,  9-th printing. New York: Dover. 1972. 
30. Bracewell R. Heaviside's Unit Step Function. The Fourier Transform and Its Applications. 3-rd ed. New York: McGraw-Hill. 1999. Р. 57−61.
31. Israel W. // NuovoCimento. 1966. № 44. Р. 1; 1967. № 48. Р. 463. 
32. Raju C.K.J. // Phys. A: Math. Gen. 1982. № 15. Р. 1785.
33. Geroch R.P. // Traschen. J.Phys. Rev. D. 1987. № 38. Р. 1017.
34. Kawai T., Sakane E. Distributional Energy-Momentum Densities of Schwarzschild Space-Time // Prog. Theor. Phys. 1997.  № 98. Р. 69−86. Preprint grqc/9707029. 1998. 
35. Golubev M. B., Kelner S. R. The gravitational field of a point charge and finiteness of self-energy // JETP. 2005. V. 101.  № 6. Р. 1071−1076.
36. Einstein A. and Rosen N. The Particle Problem in the General Theory of Relativity // Phys. Rev. 1935. № 48. Р. 73. Published 1 July 1935. 
37. Foukzon J. Distributional Schwarzschild Geometry from nonsmooth regularization via horizon. Distributional Rindler spacetime with distributional Levi-Cività connection induced vacuum dominance. 2017, arXiv: 0806.3026v6
38. Foukzon J., Potapov A., Men'kova E. Was PolchinskiWrong ? Colombeau Distributional Rindler Space-Time with Distributional Levi-Cività Connection Induced Vacuum Dominance. Unruh Effect Revisited // Journal of High Energy Physics, Gravitation and Cosmology. 2018. V.4. № 2. Р. 361. Paper ID 84304. 80 p. doi:10.4236/jhepgc.2018.42023
39. Foukzon J. Remarks on Mӧller Mistaken Famous Paper from 1943. viXra: 1907.0116 submitted on 2019-07-07 12:01:37. http://vixra.org/abs/1907.0116
40. Foukzon J., Men'kova E., Potapov A. Singular general relativity using the Colombeau approach. I. Distributional Schwarzschild geometry from nonsmooth regularization via horizon // Physics Essays. 2020. V. 33. № 2. Р. 180−199. Publisher: Physics Essays         Publication.doi:https://doi.org/10.4006/0836-1398-33.2.180.               https://www.ingentaconnect.com/content/pe/pe/2020/ 00000033/ 00000002/art00009
41. Foukzon J., Men'kova E., Potapov A. Singular general relativity. Colombeau approach: Point free Colombeau geometry, classical and quantum. ISBN: 978-6202686075. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2020 (in press).