О.В. Дружинина ¬- д.ф.-м.н., профессор, гл. науч. сотрудник, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук. E-mail: ovdruzh@mail.ru О.Н. Масина - д.ф.-м.н., зав. кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. E-mail: olga121@inbox.ru А.В. Щербаков - аспирант, кафедра математического моделирования и компьютерных технологий, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. E-mail: shcherbakov_al.vl@mail.ru

Описана структура, проведена систематизация и дан обзор результатов исследования двумерных, трехмерных и четырехмерных моделей динамики популяций с отношениями мутуализма. Проведено качественное исследование модели, описывающей взаимодействиe между хищником, жертвой и мутуалистом, а также модели, характеризующейся наличием двух взаимодействующих между собой видов-конкурентов, каждый из которых взаимодействует и с видом-мутуалистом. Найдены состояния равновесия, выполнен анализ устойчивости и построены соответствующие фазовые портреты. Рассмотрен переход от многомерных дифференциальных уравнений, описывающих модели популяционной динамики, к векторному дифференциальному включению, а также к нечеткому и стохастическому дифференциальному уравнениям. С помощью принципа редукции выполнен сравнительный анализ свойств моделей.

 

1. Dean A.M. A simple model of mutualism // Am. Nat. 1983. V. 121. P. 409-417.
2. Kumar R., Freedman H.I. A mathematical model of facultative mutualism with populations interacting in a food chain // Math. Biosci. 1989. V. 97. 235-261.
3. Freedman H.I., Rai B. Uniform persistence and global stability in models involving mutualism Competitor-competitor-mutualist systems // Indian J. Math. 1988. V. 30. P. 175-186.
4. Rai B., Freedman H.I., Addicott J.F. Analysis of three species models of mutualism in predator-prey and competitive systems // Math. Biosci. 1983. № 63. С. 13-50.
5. Freedman H. I., Rai B. Can mutualism alter competitive outcome: a mathematical analysis // Rocky Mountain. 1995. V. 25. № 1. P. 217-230.
6. Addicott J.F. Stability properties of 2-species models of mutualism: simulation studies // Oecologia. 1981. V. 49. P. 42-49.
7. Freedman H.I., Addicott J.F., Rai B. Nonobligate and obligate models of mutualism, in population biology proceedings // Springer-Verlag Lecture Notes in Biomathematics. 1983. V. 52. Р. 349-354.
8. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.
9. Масина О.Н., Щербаков А.В. Анализ устойчивости модели взаимодействия двух конкурирующих особей с учетом симбиоза // Материалы Междунар. научно-практич. Конф. «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования», посвященной 95-летию со дня рождения профессора А.А. Шестакова (Елец, 2─3 апреля 2015 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина. 2015. С. 93-97.
10. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. М.: Изд-во РУДН. 2000.
11. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС. 2007.
12. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН. 2009.
13. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование существования и устойчивости решений дифференциальной системы экологической динамики с учетом конкуренции и диффузии // Нелинейный мир. 2009. Т. 7. № 11. С. 881-888.
14. Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости модели популяционной динамики на основе построения стохастических самосогласованных моделей и принципа редукции // Вестник РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. 2015. № 3. С. 18-29.
15. Дружинина О.В., Масина О.Н. Условия устойчивости модели динамики популяций на основе детерминированного и стохастического подходов // Материалы Всеросс. Конф. с междунар. участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, РУДН, 18-22 апреля 2016 г.). М.: РУДН. 2016. С. 267-270.
16. Дружинина О.В., Масина О.Н. Системный подход к исследованию устойчивости моделей, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов // Вестник Российской академии естественных наук. Сер. Дифференциальные уравнения. 2015. T. 15. № 3. С. 24-30.