В.В. Добриян1

1 Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина (г. Саратов, Россия)

Постановка проблемы. Развитие и применение методов расчета показателей Ляпунова является актуальной проблемой в анализе нелинейной динамики систем различного рода. Перспективным направлением в решении данной проблемы является применение нейронных сетей.

Цель. Предложить алгоритм и метод расчёта спектра показателей Ляпунова на основании выборки из одной координаты с применением нейронных сетей.

Результаты. Предложена модификация нейросетевого метода расчёта спектра показателей Ляпунова на основании выборки из одной координаты. Проанализированы различные методы вычисления показателей Ляпунова (метод Бенеттина, метод Вольфа, метод Розенштейна, метод Кантца, метод синхронизации, метод Сано-Савады и метод, предложенный в работе) для таких классических задач нелинейной динамики как: отображение Эно, обобщенное отображение Эно, аттрактор Лоренца. Установлено, что рассмотренный в работе метод оказался наиболее эффективным с точки зрения размера выборки и точности по сравнению с другими представленными методами. Показано, что метод даёт хорошие вычислительные результаты для различных типов систем при малом размере выборки из одной координаты, не требуя наличия исходных уравнений системы.

Практическая значимость. Полученные результаты могут найти применение в задачах анализа нелинейной динамики распределённых систем различного рода – как механических (балки, оболочки, пластины), так и немеханических (исторические, финансовые, демографические данные, медико-биологические сигналы).

Добриян В.В. Нейросетевой метод вычисления спектра показателей Ляпунова в анализе нелинейной динамики классических систем // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2023. T. 25. № 2. С. 30-40. DOI: https://doi.org/10.18127/j19998554-202302-03

1. Devaney R.L. An introduction to chaotic dynamical systems, 3rd ed. New York: Chapman and Hall/CRC. 2021. 432 p. DOI: doi.org/10.1201/9780429280801.
2. Banks J., Brooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney’s Definition of Chaos // American Mathematical Monthly. 1992.
   V. 99. № 4. P. 332–334. DOI: doi.org/10.2307/2324899.
3. Knudsen C. Chaos without Periodicity // American Mathematical Monthly. 1994. V. 101. P. 563–565.
4. Gulick D. Encounters with Chaos and Fractals. 2nd ed. CRC Press. 2012. 387 p.
5. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Physical Review. 1976. V. 14. № 6.
   P. 2338–2345. DOI: 10.1103/PhysRevA.14.2338.
6. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических
   систем // Труды Московского математического общества. 1968. Т. 19. С. 179–210.
7. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и эргодические свойства гладких динамических систем с инвариантной мерой // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 226. № 4. С. 774–777.
8. Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D. 1993. V. 65. P. 117–134.
9. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Physics Letters A. 1994. V. 185. № 1.
   P. 77–87. DOI: 10.1016/0375-9601(94)90991-1.
10. Головко В.А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика 2005»: Лекции по нейроинформатике. М.: МИФИ, 2005. С. 43–88.
11. Stefanski A. Estimation of the largest Lyapunov exponent in systems with impacts // Chaos, Solitons & Fractals. 2000. V. 11. № 15. P. 2443–2451. DOI: 10.1016/S0960-0779(00)00029-1.
12. Stefanski A., Kapitaniak T. Estimation of the dominant Lyapunov exponent of non-smooth systems on the basis of maps synchronization // Chaos, Solitons & Fractals. 2003. V. 15. №. 2. P. 233–244. DOI: 10.1016/S0960-0779(02)00095-4.
13. Sato S., Sano M., Sawada Y. Practical Methods of Measuring the Generalized Dimension and the Largest Lyapunov Exponent in High Dimensional Chaotic Systems // Progress of Theoretical Physics. 1987. V. 77. № 1. P. 1–5.
14. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Reviews of Modern Physics. 1985. V.57. № 3. P. 617–656. DOI: 10.1103/RevModPhys.57.617.
15. Awrejcewicz J., Krysko A.V., Dobriyan V., Papkova I.V., Krysko V.A. On the Lyapunov exponents computation of coupled non-linear Euler-Bernoulli beams // Proceedings of the Fourteenth International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing, Civil-Comp Press, Stirlingshire, UK. 2013. P. 53. DOI: 10.4203/ccp.102.53.
16. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. V. 16. № 3. P. 285–317. DOI: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.
17. Масина О.Н., Петрова Н.П., Карпеченкова О.Н. Применение лингвистических переменных и функций Ляпунова для стабилизации нелинейных нечетких систем // Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 9. С. 590–594.
18. Нгуен К.Т., Нгуен М.К. Статистический подход к формулированию условий устойчивости по Ляпунову при моделировании управляемой динамической системы // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2017. Т. 15. № 7. С. 61–66.
19. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Communications in Mathematical Physics. 1976. V. 50. № 1.
    P. 69–77. DOI: 10.1007/BF01608556.
20. Baier G., Klein M. Maximum hyperchaos in generalized Henon maps // Physics Letters A. 1990. V. 151. №. 6-7. P. 281–284.
21. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. № 2. P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
22. Yaroshenko T.Y., Dobriyan V., Zhigalov M.V., Krysko V.A., Krysko D.V., Vandenabeele P., Vos H. Wavelet modeling and prediction of the stability of states: The Roman Empire and the European Union // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. V. 26. № 1-3. P. 265–275. DOI: 10.1016/j.cnsns.2015.02.013.
23. Kutepov I.E., Krysko A.V., Dobriyan V.V., Yakovleva T.V., Krylova E.Yu., Krysko V.A. Visualization of EEG signal entropy in schizophrenia // Scientific Visualization. 2020. V. 12. №. 1. P. 1–9. DOI 10.26583/sv.12.1.01.
24. Awrejcewicz J., Krysko A.V., Zagniboroda N.A., Dobriyan V.V., Krysko V.A. On the general theory of chaotic dynamics of flexible curvilinear Euler–Bernoulli beams // Nonlinear Dynamics. 2015. V. 79. № 1. P. 11–29. DOI: 10.1007/s11071-014-1641-5.
25. Krysko V.A., Dobriyan V., Papkova I.V., Awrejcewicz J. Size-dependent parameter cancels chaotic vibrations of flexible shallow nano-shells // Journal of Sound and Vibration. 2019. V. 446. P. 374–386. DOI: 10.1016/j.jsv.2019.01.032.
26. Lozi R. Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems? // World Scientific Series on Nonlinear Science Series. Topology and Dynamics of Chaos. 2013. P.63–98. DOI: 10.1142/9789814434867_0004.