Д.В. Шушпанов1

1 Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича (Санкт-Петербург, Россия)

1 dimasf@inbox.ru

Постановка проблемы. Анализ устойчивости линейной электрической цепи является важной задачей. Теория устойчивости линейных электрических цепей исторически шла параллельно математическому понятию устойчивости, но в дальнейшем
закрепилась в теории автоматического управления (ТАУ) и практически в неизменном виде используется в теории электрических цепей (ТЭЦ). Использование ТАУ, с одной стороны, позволяет применить теорию устойчивости для широкого класса задач (механических, тепловых, экономических и т.д.), но, к сожалению, не учитывает всех особенностей электрических
цепей. Поэтому очень важно рассмотреть устойчивость линейной электрической цепи с позиции ТЭЦ, т.е. рассмотреть
использование топологических методов для анализа устойчивости, что позволит расширить теорию устойчивости линейный электрических цепей.

Цель. Исследовать возможные преимущества использования символьно-топологических методов (метода схемных определи-телей и др.) при анализе устойчивости линейных электрических цепей с отрицательной обратной связью (ООС), используя различные критерии устойчивости.

Результаты. Рассмотрены возможные преимущества использования символьно-топологических методов (метод схемных определителей и использование «поверхности Боде») при анализе устойчивости линейных электрических цепей с ООС при различных критериях устойчивости. Получена полная формула для нахождения схемного определителя линейной электрической цепи с ООС. Показан новый смысл основных формул метода схемных определителей с точки зрения устойчивости.

Практическая значимость. Проведенный обзор топологических методов для анализа устойчивости линейных электрических цепей показал преимущество использования метода схемных определителей для определения собственных частот электрической цепи. Выявлена возможность измерения частотных характеристик годографа Михайлова в линейной электрической цепи. Приведены различные критерии в выборе сечения для разрыва контура отрицательной обратной связи с целью корректного определения петлевого усиления цепи.

Шушпанов Д.В. Использование символьно-топологического метода для анализа устойчивости линейных электрических цепей // Успехи современной радиоэлектроники. 2025. T. 79. № 7. С. 14–47. DOI: https://doi.org/10.18127/j20700784-202507-02

1. Горовиц А.М. Синтез систем с обратной связью / Пер. с англ. под ред. М.В. Меерова. М.: Сов. радио. 1970.
2. Дмитриков В.Ф., Шушпанов Д.В. Устойчивость и электромагнитная совместимость устройств и систем электропитания / М.: Горячая линия – Телеком. 2018.
3. Дмитриков В.Ф., Исаев В.М., Куневич А.В., Шушпанов Д.В., Петроченко А.Ю. Высокочастотная модель катушки индуктивности // Наноиндустрия. 2021. Т. 14. № S7 (107). С. 415–417. DOI: 10.22184/1993-8578.2021.14.7s.415.417.
4. Дмитриков В.Ф., Шушпанов Д.В. Эквивалентная схема замещения диэлектрика в широком диапазоне частот (0 Гц - 500 МГц) // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2022. Т. 25. № 3. С. 43–57. DOI: 10.18469/1810-3189.2022.25.3.43-57.
5. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник. Изд. 2-е. СПб.: Лань. 2009.
6. Maxwell J.C. I. On governors // Proc. Roy. Soc. London, 1868. V. 16. P. 270–283. DOI: 10.1098/rspl.1867.0055.
7. Lumbreras D., Barrios E.L., Urtasun A., Ursúa A., Marroyo L., Sanchis P. On the Stability of Advanced Power Electronic Converters: The Generalized Bode Criterion // IEEE Transactions on Power Electronics, Sept. 2019. V. 34. № 9. P. 9247–9262. DOI: 10.1109/TPEL.2018.2884892.
8. Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion / New York, NY, USA: Macmillan and Company. 1877.
9. Hunvitz A. Ubrer die Bedingungen, unter aelchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt // Mathenzutical Annual, 1895. V. 46. P. 273–284. DOI: 10.1007/BF01446812.
10. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функция комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М: Наука. 1971.
11. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем: Учеб. пособие для вузов. СПб.: БХВ-Петербург. 2004.
12. Barkhausen H. Lehrbuch der Elektronen-Röhren und ihrer technischen Anwendungen // In Textbook of Electron Tubes and Their Technical Applications. V. 3. Leipzig, Germany: S. Hirzel Verlag, 1935.
13. Nyquist H. Regeneration theory // Bell Labs Tech. J., 1932. V. 11. № 1. P. 126–147. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x.
14. Balaz I., Brezovic Z., Minarik M., Kudjak V., Stofanik V. Barkhausen criterion and another necessary condition for steady state oscillations existence // 2013 23rd International Conference Radioelektronika (RADIOELEKTRONIKA), Pardubice, Czech Republic, 2013. P. 151–155. DOI: 10.1109/RadioElek.2013.6530906.
15. Bongiorno J., Graham D. An extension of the Nyquist-Barkhausen stability criterion to linear lumped-parameter systems with time-varying elements // IEEE Transactions on Automatic Control, April 1963. V. 8. № 2. P. 166–170. DOI: 10.1109/TAC.1963.1105537.
16. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. М.: Госуд. изд-во иностранной лит-ры. 1948.
17. Roberts G.W. A Modified Nyquist Stability Criteria that Takes into Account Input/Output Circuit Loading Effects // 2021 19th IEEE International New Circuits and Systems Conference (NEWCAS), Toulon, France. 2021. P. 1–4. DOI: 10.1109/NEWCAS50681.2021.9462771.
18. Hurst P.J. A Comparison of Two Approaches to Feedback Circuit Analysis // IEEE Transactions on Education, V. 35. № 3. August 1992. P. 253–261. DOI: 10.1109/13.144656.
19. Middlebrook R.D. Measurement of loop gain in feedback systems // Int. J. Electronics. 1975. V. 38. P. 485–512. DOI: 10.1080/00207217508920421.
20. Шушпанов Д.В. О построении многоконтурной ООС в импульсном преобразователе напряжения // Авиационная техника. 2010. № 3.
21. Middlebrook R.D. The general feedback theorem: a final solution for feedback systems // IEEE Microwave Magazine. April 2006. V. 7. № 2. P. 50–63. DOI: 10.1109/MMW.2006.1634022.
22. Vorpérian V. Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits / Cambridge University Press. 2011.
23. Basso C.P. Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supply: A Tutorial Guide / Boston / London Artech House. 2012.
24. Middlebrook R.D., Vorperian V., Lindal J. The N Extra Element Theorem // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. Sept. 1998. V. 45. № 9. P. 919–935. DOI: 10.1109/81.721258.
25. Курганов С.А., Филаретов В.В. Схемно-алгебраическое моделирование и расчет линейных электрических цепей: Учеб. пособие. Ульяновск: УлГТУ. 2005.
26. Курганов С.А., Филаретов В.В. Символьный анализ линейных аналоговых и дискретно-аналоговых электрических цепей: Учеб. пособие. Ульяновск: УлГТУ. 2008.
27. Курганов С.А., Филаретов В.В. Топологические правила и формулы для анализа электрических цепей без избыточности. Ульяновск: УлГТУ. 2010.
28. Филаретов В.В. Программа символьного анализа CIRSYM: история создания, структура и функции // Синтез, анализ и диагностика электронных цепей: Междунар. сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ. 2012. № 10. С. 158–171.
29. Программа символьного анализа и диагностики CIRSYM. URL: http://intersyn.net/cirsym.html.
30. Смирнов В.С. Символьный анализ линейных моделей мощных ключевых устройств в программе FASTMEAN // Схемно-топологические модели активных электрических цепей: синтез, анализ, диагностика: Труды междунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике – КЛИН-2006» (г. Ульяновск, 16–18 мая 2006 г.). Ульяновск: УлГТУ. 2006. Т. 3. С. 181–187.
31. Официальный сайт программы FASTMEAN. URL: http://www.fastmean.ru.
32. Курганов С.А., Филаретов В.В. Обобщенные безызбыточные формулы для чувствительности схемных функций линейных электрических цепей // Электричество. 2017. № 2. С. 44–50.
33. Горшков К.С., Токарев Ю.В., Филаретов В.В. Анализ и структурный синтез электрических цепей методом схемных определителей: Учеб. пособие. Ульяновск: УлГТУ. 2008.
34. Курганов С.А., Филаретов В.В. Символьный анализ и диагностика линейных электрических цепей методом схемных определителей: Учеб. пособие. Ульяновск: УлГТУ. 2003.
35. Курганов С.А., Филаретов В.В. Нахождение повреждения в кабельной сети методом выделения параметров // Изв. вузов. Электромеханика. 2024. Т. 67. № 4. С. 70–77. DOI: 10.17213/0136-3360-2024-4-70-77 EDN: ADZKJE.
36. Курганов С.А. О нахождении нулей и полюсов электрических цепей по степенным полиномам схемных функций // В сборнике: Синтез, анализ и диагностика электронных цепей. Филаретов В.В. Междунар. сб. науч. трудов; под ред. В.В. Филаретова. Ульяновск: УлГТУ 2015. С. 251–257.
37. Курганов С.А., Соловьев В.А. О частотном анализе устойчивости линейных электрических цепей по критерию Михайлова // Международный сборник научных трудов «Синтез, анализ и диагностика электронных цепей». Ульяновск: УлГТУ. 2018. Вып. 15. С. 89–94.
38. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир. 1989.
39. Гридин В.Н., Михайлов В.Б., Шустерман Л.Б. Численно-аналитическое моделирование радиоэлектронных схем. М.: Наука. 2008.
40. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Пер. с англ. М.: Наука. 1970.
41. Официальный сайт программы SimOne. URL: https://www.eremex.ru/products/delta-design/simone.
42. SimOne 3.0. Справочное руководство. Декабрь 2017. URL: https://www.eremex.ru/upload/iblock/11c/Spravochnoe-rukovodstvo-SimOne-3.0.pdf.
43. Nebel G., Kleine U., Pfleiderer H.-J. Symbolic Pole/Zero Calculation Using SANTAFE // IEEE J. Solid State Circuits, July 1995. V. 30. № 7. P. 752–761. DOI: 10.1109/4.391114.
44. Guerra O., Rodríguez-García J.D., Fernández F.V., Rodríguez-Vázquez A. A Symbolic Pole/Zero Extraction Methodology Based on Analysis of Circuit Time Constants // Analog Integrated Circuits and Signal Processing, May 2002. V. 31. № 2. P. 101–118. DOI: 10.1023/A:1015089810198.
45. Hennig E. Matrix Approximation Techniques for Symbolic Extraction of Poles and Zeros // Analog Integrated Circuits and Signal Processing, May 2002. V. 31. № 2. P. 81–100. DOI: 10.1023/A:1015037826128.
46. Radovanovic M. Extraction of Zeros and Poles of Combline Filters // 20th, Telecommunications Forum (TELFOR). 2012. P. 1552–1555. DOI: 10.1109/TELFOR.2012.6419517.
47. Dirkse S., Ferris M.C., Munson T. The PATH Solver. URL: http://pages.cs.wisc.edu/~ferris/path.html.
48. Hashemian R. Extraction of Poles and Zeros of an RC Circuit with Roots on the Real Axis // IEEE Trans. Circuits Syst. II, Exp. Briefs, August 2014. V. 61. № 8. P. 624–628. DOI: 10.1109/TCSII.2014.2327471.
49. Hashemian R. Identification and Extraction of All Real Axis Poles and Zeros in RC and RL Circuits // IEEE Inter. Conf. on Electro/Information Technology EIT2015, Northern Illinois University, May 21-23. 2015. P. 397–402. DOI: 10.1109/EIT.2015.7293375.
50. Hashemian R. S-Plane Bode Plots—Identifying Poles and Zeros in a Circuit Transfer Function // Proceedings of the IEEE LASCAS 2015 Conference, Montevideo, Uruguay (February 24–27, 2015). 2015. P. 1–4. DOI: 10.1109/LASCAS.2015.7250464.
51. Амелина М.А., Амелин С.А. Программа схемотехнического моделирования Micro-CAP. Версии 9, 10. Смоленск: Смоленский филиал НИУ МЭИ. 2012.
52. Micro-Cap 12. Electronic Circuit Analysis Program Reference Manual / Spectrum Software (1982 – 2018). 11th Edition. June 2018. URL: https://www.iee.et.tu-dresden.de/~jmueller/simulation/soft/microcap/MC12.RefManual.pdf.
53. Hashemian R. RC and RL to LC Circuit Conversion, and its Application in Poles and Zeros Identification // 2016 IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems (ICECS), Monte Carlo, Monaco. 2016. P. 205–208. DOI: 10.1109/ICECS.2016.7841168
54. Самылин И.Н., Шушпанов Д.В., Сайко Н.Ю. Оценка погрешности метода усреднения и линеаризации для импульсного преобразователя напряжения понижающего типа с обратной связью по выходному напряжению // Труды учеб. заведений связи. 2005. № 173. С. 199–211.
55. Курганов Д.С., Курганов С.А., Филаретов В.В. Нахождение порядка сложности произвольной активной электрической цепи методом схемных определителей // Синтез, анализ и диагностика электронных цепей: Междунар. сб. науч. трудов. Ульяновск: УлГТУ. 2008. С. 140–151.
56. Четти П. Проектирование ключевых источников питания / Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат. 1990.
57. Шушпанов Д.В. Высокоэффективные импульсные преобразователи напряжения с ШИМ и распределенные системы электропитания на их основе. Дисс. к.т.н. СПб. 2005.
58. Смирнов В.С. Эквивалентные частотные характеристики транзисторных ключевых устройств с отрицательной обратной связью. Дисс. к.т.н. СПб. 2007.
59. Riddley R.B. Power Supply Design. V. 1: Control / Ridley Engineering, Inc. 2012.
60. Cho B.H., Lee F.C.Y. Measurement of Loop Gain with the Digital Modulator // IEEE Transactions on Power Electronics. 1986. V. PE-1. № 1. P. 55–62. DOI: 10.1109/TPEL.1986.4766277.
61. Kondrath N. Relative Stability of the Inner-Current Loop of Peak Current-Mode Controlled PWM DC-DC Converters in CCM / PhD Dissertation, Wright State University, June, 2010.  DOI: 10.1109/ISCAS.2009.5118180.
62. Loop Gain Simulation. URL: https://sites.google.com/site/frankwiedmann/loopgain.
63. Tian M., Visvanathan V., Hantgan J., Kundert K. Striving for Small-Signal Stability // IEEE Circuits and Devices Magazine, January 2001. V. 17. № 1. P. 31–41. DOI: 10.1109/101.900125.
64. Недорезов М.В., Филаретов В.В. Неявное выделение параметров управляемых источников в программе CIRSYM // Междунар. сб. науч. трудов «Синтез, анализ и диагностика электронных цепей». Ульяновск: УлГТУ. 2017. Вып. 14. С. 21–34.
65. Hashemian R. Symbolic representation of network transfer functions using norator-nullator pairs // Electronic circuits and systems. 1977. V. 1. № 6 (November). P. 193–197. DOI: 10.1049/ij-ecs.1977.0032.
66. Hashemian R. Application of Nullors in Symbolic Single Port Transfer Functions Using Admittance Method // 2021 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), Daegu, Korea. 2021. P. 1–5, DOI: 10.1109/ISCAS51556.2021.9401272.
67. Ruan X. et al. Reconsideration of Loop Gain and Its Measurement in DC–DC Converters // IEEE Transactions on Power Electronics. 2019. V. 34. № 7. P. 6906–6921. DOI: 10.1109/TPEL.2018.2873074.
68. Дмитриков В.Ф., Шушпанов Д.В. Измерение петлевого усиления в ИПН с двухконтурной ООС // Труды XII междунар. науч.-технич. конф. «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП – 2014) 2-4 октября 2014 г. Новосибирск. 2014. Т. 7. С. 226–232.
69. Panov Y., Jovanovic M.M. Loop Gain Measurement of Paralleled DC–DC Converters with Average-Current-Sharing Control // IEEE Transactions on Power Electronics. Nov. 2008. V. 23. № 6. P. 2942–2948. DOI: 10.1109/TPEL.2008.2002955.
70. Дмитриков В.Ф., Шушпанов Д.В., Ким С.М., Петроченко А.Ю., Зайцева З.В. Влияние перекрестной связи на устойчивость работы параллельно включенных импульсных преобразователей напряжения // Практическая силовая электроника. 2015. № 3 (59). С. 12–19.
71. Middlebrook R.D. Input filter consideration in design and application of switching regulators // Proc. IEEE Ind. Applicat. Soc. Annu. Meeting, Oct. 1976. P. 94–107.
72. Feussner W. Ueber Stromverzweiun in netzformien Leitern // Annalen der Physik 1902. Bd 9. № 13. P. 1304–1329. DOI: 10.1002/andp.19023141320.