Быстрая аппроксимация евклидова расстояния

Постановка проблемы. Линейная аппроксимация абсолютного значения комплексного числа используется для регулировки усиления различных видов сигналов, которые принимаются в виде комплексных чисел. В этом случае необходимо вычислить абсолютное значение сигнала, которое может быть представлено евклидовым расстоянием вектора от начала координат. В [2] была предложена линейная аппроксимация значения абсолютной величины комплексного числа и приведен набор параметров аппроксимации, но без их обоснования. В настоящей работе дано обоснование алгоритма расчета абсолютного значения комплексного числа и определен оптимальный набор параметров линейной аппроксимации этой величины.

Цель. Исключить из расчета евклидова расстояния операцию вычисления квадратного корня и повысить точность аппроксимации абсолютного значения комплексного числа за несколько операций сдвига и сложения с 1 до 5 бит.

Результаты. Выполнен численный анализ линейной аппроксимации L2-нормы двумерного вектора вида w=ax+by+c. Дано обоснование описанного в [3] алгоритма и получен оптимальный набор параметров а, b и с. Показано, что этот алгоритм требует двух умножений с константой и одного сложения. Обнаружена еще одна линейная аппроксимация, требующая только одно умножение на константу, но в ущерб точности. Установлено, что параметр линейного смещения c должен быть равен нулю. Представлен алгоритм линейной аппроксимации абсолютного значения комплексного числа.

Практическая значимость. Предложенный алгоритм может быть использован в микроконтроллерах с ограниченными ресурсами с 16-разрядной арифметикой (TI, Motorola), 32-разрядной арифметикой (Cortex-M0+) и 8-разрядной арифметикой (6502), в современных цифровых сигнальных процессорах DSP (Cortex-M4, Aurix Tricore), а также в высокопроизводительных приложениях с расширениями для параллельных вычислений SIMD (AVX, Neon и др.).