Теоремы о представлении интеграла от периодической функции с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы

Постановка проблемы. На практике широко распространена задача восстановления периодических функций по их дискретным не эквидистантным отсчетам, в особенности, при обработке результатов измерений таких функций. Однако существующий подход по интерполяции неэквидистантным рядом Котельникова приводит к ошибкам, обусловленным усечением бесконечного ряда. Исключить такие ошибки и повысить точность интерполяции позволит модификация ряда Котельникова на основе учета периодичности исходной функции. Наряду с аналитическим представлением исходной функции и ее производной во многих научных задачах актуальным является вычисление интеграла от функции, заданной дискретным множеством отсчетов.

Цель. Сформулировать теоремы о представлении интеграла от периодической функции с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы для функций одной и нескольких переменных.

Результаты. На основе модифицированного ряда Котельникова сформулированы теоремы о представлении интеграла от периодической функции с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы. Показано, что в отличие от использования интерполяционного ряда с ядром вида спектров атомарных функций это представление не требует завышения частоты дискретизации исходной функции, а также позволяет повысить точность интегрирования за счет обнуления ошибки усечения. Полученные результаты обобщены на общий случай интегрирования сложной функции нескольких переменных, когда подынтегральное выражение факторизуется с периодическим множителем, имеющим финитный спектр.

Практическая значимость. Сформулированные теоремы могут найти практическое применение в радиофизике, теории колебаний, оптике, голографии и радиоастрономии, а также при решении задач математической физики, цифровой обработки сигналов и изображений. Применение данных теорем в электродинамике и теории антенн даст возможность повысить точность расчета характеристик электромагнитного поля излучения по результатам измерений (например, выразить коэффициент направленного действия антенны через отсчеты ее диаграммы направленности).