В.В. Ахияров1, Е.А. Ищенко2, Ю.Г. Пастернак3

1 АО НПОДАР (Москва, Россия)

2,3 Воронежский государственный технический университет (г. Воронеж, Россия)

1 vakhiyarov@gmail.com; 2 kursk1998@yandex.ru; 3 pasternakyg@mail.ru

Постановка проблемы. Метод параболического уравнения, продемонстрировавший свою высокую эффективность при решении скалярных задач излучения, дифракции и распространения радиоволн, можно обобщить и на задачи с осевой симметрией. Однако при этом возникает вопрос, связанный с алгоритмом численного решения параболического уравнения (ПУ).

Цель. Обобщить метод ПУ на случай осесимметричных задач излучения и дифракции, представить новый вычислительно эффективный алгоритм решения ПУ в цилиндрических координатах, основанный на преобразовании Ханкеля, а также оценить точность и продемонстрировать вычислительные возможности этого алгоритма.

Результаты. Рассмотрено обобщение метода ПУ на случай задач с осевой симметрией. Показано, что для модельных задач излучения и дифракции точность вычисления поля в дальней зоне сопоставима со строгими решениями. Разработан высокоэффективный алгоритм численного решения ПУ в цилиндрических координатах, вычислительные возможности которого продемонстрированы на примере дифракции оптического излучения на сферической капле воды.

Практическая значимость. Представленный алгоритм целесообразно использовать для расчетов, связанных с распространением волновых пучков, в том числе и вихревых, которые в настоящее время активно исследуются.

Ахияров В.В., Ищенко Е.А., Пастернак Ю.Г. Решение задач излучения и дифракции с осевой симметрией методом параболического уравнения // Радиотехника. 2026. Т. 90. № 1. С. 25−37. DOI: https://doi.org/10.18127/j00338486-202601-03

1. Малушков Г.Д. Методы решения задач электромагнитного возбуждения тел вращения // Известия высших учебных заведе-ний. 1975. Т. XVIII. № 11. С. 1563-1589.
2. Васильев Е.В. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь. 1987. 272 с.
3. Ахияров В.В. Использование метода интегральных уравнений для расчета характеристик рассеяния идеально проводящих тел вращения // Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. Т.10. № 1-2. С. 32-37.
4. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь. 1982. 184 с.
5. McCargar R.K., Siegrist K.M., Reuster J.R. et al. Body-of-Revolution Implementation of the Parabolic Wave Equation with Application to Rocket Plume Attenuation Modeling // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2018. V. 66. № 12. P. 6531-6539.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973. 832 с.
7. Poularikas A. The Transforms and Application Handbook. CRC Press LLC. 2000.
8. Ozgun O., Apaydin G., Kuzuoglu M., Sevgi L. PETOOL: MATLAB-based one-way and two-way split-step parabolic equation tool for radiowave propagation over variable terrain // Computer Physics Communication. 2011. V. 182. № 12. P. 2638-2654.
9. Ахияров В.В., Калошин В.А., Никитин Е.А. Исследование широкополосных планарных линз Люнебурга // Журнал радио-электроники. 2014. № 1.
10. Ахияров В.В. Исследование линзовых антенн из неоднородного диэлектрика методом параболического уравнения // Журнал радиоэлектроники. 2015. № 12.
11. Guizar-Sicairos M., Gutierrez-Vega J.C. Computation of quasi-discrete Hankel transforms of integer order for propagating optical wave fields // Journal of the Optical Society of America A. 2004. V. 21. № 1. P. 53-58.
12. Baddour N., Chouinard U. Theory and operational rules for the discrete Hankel transform // Journal of the Optical Society of America A. 2015. V. 32. № 4. P. 611-622.
13. Ахияров В.В. Обобщение метода параболического уравнения на случай осесимметричных задач // Сб. трудов XXIX Междунар. науч.-технич. конф. «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж. 2023. Т. 4. С. 180-186.
14. Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Основы теории антенн. М.: Дрофа. 2007. 491 c.
15. Levy М.F. Parabolic equation method for electromagnetic wave propagation. London. IEE. 2000. 336 p.
16. Ахияров В.В. Результаты решения скалярных задач излучения и дифракции методом параболического уравнения // Электро-магнитные волны и электронные системы. 2014. T. 19. № 2. C. 12-18.
17. Зелкин Е.Т., Петрова Р.А. Линзовые антенны. М.: Советское радио. 1974. 280 с.
18. Gutman A.S. Modified Luneberg Lens // Journal of Applied Physics. 1954. V. 25. № 5. P. 855-859.
19. Ахияров В.В., Ищенко Е.А., Пастернак Ю.Г, Проскурин Д.К. Результаты решения осесимметричных задач излучения и дифракции методом параболического уравнения // Сб. трудов XXIX Междунар. науч.-технич. конф. «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж. 2025. Т. 4. С. 319-327.
20. Zakowicz W. Light rays and imaging in wave optics // Physical Review E. 2001. V. 64. № 6. С. 066610.
21. Shen Y. et al. Optical vortex 30 years on: OAM manipulation from topological charge to multiple singularities // Light: Science & Application. 2019. V. 8. № 1. P. 90.
22. Zhang K., Wang Y., Yuan Y. A Review of orbital angular momentum vortex beams generation: from traditional methods to metasurfaces // Applied Sciences. 2020. V. 10. № 3. P. 1015.
23. Котляр В.В., Ковалев А.А., Хонина С.Н. Вращающиеся вихревые лазерные пучки. М.: Физматлит. 2021. 238 c.
24. Сойфер В.А., Харитонов С.И., Хонина С.Н. и др. Каустики вихревых оптических пучков // ДАН. 2018. Т. 487. № 2. С. 135-139.
25. Ахияров В.В. Моделирование дальнего тропосферного распространения радиоволн методом параболического уравнения // Журнал радиоэлектроники. 2022. № 1.
26. Ахияров В.В., Ищенко Е.А. Оценка параметров атмосферной турбулентности для стандартной модели атмосферы // Журнал радиоэлектроники. 2024. № 12.
27. Dockery G.D. Modeling electromagnetic wave propagation in the troposphere using the parabolic equation // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. 1988. V. 36. № 10. P. 1464-1470.
28. Ахияров В.В., Чернавский С.В. Использование численных методов для изучения условий распространения радиоволн // Радиотехника. 2011. № 10. С. 100-110.
29. Apaydin G., Sevgi L. Radio wave propagation and parabolic equation modeling. Jon Wiley & Sons. 2017. 136 p.