А.С. Коротков1, А. Каврук2

1,2 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (Санкт-Петербург, Россия)

1 korotkov@spbstu.ru; 2 kavruk.a@edu.spbstu.ru

Постановка проблемы. Синтез частотно-избирательных устройств базируется на решении задачи аппроксимации, результатом которой является построение передаточной функции. Задача решается или разложением функций в ряд по малому аргументу, или построением аппроксимирующей функции для оператора производной/интеграла по времени с дальнейшим преобразованием в z-область. В ряде случаев недостатком первого подхода является открытая область сходимости, которая не ограничена единичной окружностью. Как следствие, в результате p-z-преобразования возникает неустойчивое решение. Кроме того, имеют место сравнительно большие амплитудные ошибки, которые требуется компенсировать при практической реализации цепи повышением тактовой частоты. При использовании второго подхода удается получить область сходимости, ограниченную единичной окружностью, и меньшую ошибку преобразования.

Цель. Представить новую методику p-z-преобразования c применением методов аппроксимации интегралов высокого порядка, позволяющую уменьшить амплитудную ошибку.

Результаты. Представлено решение задачи преобразования передаточной функции аналогового прототипа в p-области к передаточной функции цифрового/дискретного во времени фильтра в z-области. Рассмотрены следующие методы p-z-пре-образования: обратной разности, билинейное, на основе интерполяции и редуцирования правил численного интегрирования высокого порядка, преобразования с устранением неустойчивости. Разработан метод преобразования передаточной функции на основе интегрирования по правилу Симпсона и правилу Тика. Проведен анализ годографов преобразований. В результате сопоставления разработанных методов с известными установлено, что на основе критерия среднего модуля вектора ошибки на комплексной плоскости в z-области предложенные методы преобразования позволяют значительно уменьшить ошибку в полосе пропускания фильтра: на 27% по сравнению с билинейным преобразованием при применении метода на основе правила Симпсона и на 40% – по правилу Тика.

Практическая значимость. Представленная методика p-z-преобразования переменных в рамках предложенного критерия дает наименьшую ошибку преобразования мнимой оси.

Коротков А.С., Каврук А. Применение методов интегрирования высокого порядка для p-z-преобразования // Радиотехника. 2025. Т. 89. № 3. С. 5−17. DOI: https://doi.org/10.18127/j00338486-202503-01

1. Korotkov A.S. Switched-capacitor filter designs: tutorials, St. Petersburg: Polytechnic University Publishing House. 2014. 193 р.
2. Tustin A. A method of analysing the behavior of linear systems in terms of time series // J. Inst. Electrical Eng. Part IIA: Automat Regul Servo Mech. 1947. V. 94. № 1. Р. 130-142.
3. Bruton L. Low-sensitivity digital ladder filters // IEEE Transactions on Circuits and Systems. March 1975. V. 22. № 3. Р. 168-176. DOI: 10.1109/TCS.1975.1084021.
4. Достал Т., Микула Я. Преобразование p-z для уменьшения эффекта деформации характеристик и его использование в SC-фильтрах // Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника. 1994. Т. 37. № 6. С. 70-73.
5. Коротков А.С. Микроэлектронные аналоговые фильтры на преобразователях импеданса. СПб: Наука. 1999/2000. 416 с.
6. Бахвалов Н.С.  Численные методы: учебник. Изд. 8-е. М.: МГУ им. Ломоносова. 2015. 637 с.
7. Мулявка Я. Схемы на операционных усилителях с переключаемыми конденсаторами: Пер. с польск. М: Мир. 1992. 416 с.
8. Ньютон И. Математические начала натуральной философии: Пер. с лат. А.Н. Крылова. М.: Наука. 1989. 706 с.
9. Al-Alaoui M. Novel class of digital integrators and differentiators // IEEE Transactions on Signal Processing. August 2008. V. 5.
   № 99. Р. 1-10. DOI: 10.1109/TSP.2008.929668.
10. Yadav R., Gupta M. Design of fractional order differentiators and integrators using indirect discretization approach // 2010 International Conference on Advances in Recent Technologies in Communication and Computing. Kottayam. India. 2010. Р. 126-130. DOI: 10.1109/ARTCom.2010.67.
11. Steiglitz K. Computer-aided design of recursive digital filters // IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. June 1970. V. 18. № 2. Р. 123-129. DOI: 10.1109/TAU.1970.1162099.
12. Rajasekhar K., Krishna B.T. Design of novel fractional order differintegrators at low frequency region // 2020 7th International Conference on Signal Processing and Integrated Networks (SPIN). Noida. India. 2020. Р. 322-327. DOI: 10.1109/SPIN48934.2020.9070879.
13. Rajasekhar K., Krishna B.T. Design and implementation of fractional order differintegrators using reduced s- to z-transforms // Journal of Communications Technology and Electronics. 2018. V. 63. Р. 1406-1417. DOI: 10.1134/S1064226918120185.