М.П. Сличенко1

1 АО «Концерн «Созвездие» (г. Воронеж, Россия)

Постановка проблемы. Периодические функции описывают явления различной природы и используются в разных областях науки и техники. Широко распространенной на практике задачей является восстановление таких периодических функций по их дискретным неэквидистантным отсчетам, особенно при обработке результатов их измерений. Однако существующий подход по интерполяции неэквидистантным рядом Котельникова приводит к ошибкам, обусловленным усечением бесконечного ряда. Исключить данную ошибку и повысить точность интерполяции позволит модификация ряда Котельникова на основе учета периодичности исходной функции.

Цель. Получить точное замкнутое аналитическое представление периодических функций с финитным спектром Фурье модифицированным неэквидистантным рядом Котельникова.

Результаты. Решена задача точного аналитического представления бесконечного интерполяционного ряда Котельникова для периодических функций с финитным спектром Фурье в виде взвешенной суммы неэквидистантных отсчетов на периоде. Показано, что использование данного представления в классе периодических функций с нефинитным спектром Фурье позволяет обнулить ошибку усечения, оставляя неизменной ошибку наложения. Полученные выражения являются модификацией интерполяционного ряда Котельникова и справедливы в общем слу-чае для векторных комплексных функций, удовлетворяющих условиям теоремы отсчетов.

Практическая значимость. Применение доказанной теоремы на практике позволит с нулевой ошибкой усечения восстанавливать периодические функции различной природы (например, характеристики направленности антенных систем, контуры изображений) по их неэквидистантным отсчетам. В частности, это позволит реализовать передискретизацию результатов измерений характеристик антенных систем и формирование данных, непосредственно используемых в аппаратуре радиомониторинга в режиме пеленгования источников радиоизлучений.

Сличенко М.П. Представление периодических функций с финитным спектром Фурье модифицированным неэквидистантным рядом Котельникова // Радиотехника. 2023. Т. 87. № 5. С. 123−133. DOI: https://doi.org/10.18127/j00338486-202305-13

1. Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. Т. 1. «Радиофизика. Информатика, телекоммуникации». М.: Физматлит. 2008. С. 90-108; 9-22.
2. Джерри. А.Дж. Теорема отсчетов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор // ТИИЭР. 1977. Т. 65. № 11. С. 53-89.
3. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит. 2006. 417 с.
4. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории: Пер. с немецкого. М.: Техносфера. 2004. 280 с.
5. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника. 2003. 510 с.
6. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Применение атомарных функций для восстановления сигналов с финитным спектром // ДАН. 2002. Т. 385. № 1. С. 36-40.
7. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Гусевский В.И. Конструктивные методы аппроксимации в теории антенн. М.: Сайнс-Пресс. 2005. 512 с.
8. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. М.: Физматлит. 2004. 308 с.
9. Цифровая обработка сигналов и изображений / Под ред. проф. В.Ф. Кравченко. М.: Физматлит. 2007. 544 с.
10. Кравченко В.Ф., Кравченко О.В., Пустовойт В.И., Чуриков Д.В. Атомарные функции в современных проблемах радиофизики. Обзор // Физические основы приборостроения. Специальный выпуск. 2011. С. 3-48.
11. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука. 1971. 220 с.
12. Дмитриев И.С., Сличенко М.П. Максимально правдоподобное обнаружение и оценивание направления прихода и амплитуды напряженности радиоволны с помощью многоканального радиопеленгатора с антенной системой произвольной конфигурации // Антенны. 2011. № 5. С. 59-64.
13. Артемов М.Л., Борисов В.И., Маковий В.А., Сличенко М.П. Автоматизированные системы управления, радиосвязи и радиоэлектронной борьбы. Основы теории и принципы построения / Под ред. М.Л. Артемова. М.: Радиотехника. 2021. 556 с.
14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. 1985. 632 с
15. Дмитриев И.С., Сличенко М.П. Представление периодических функций с финитным спектром Фурье модифицированным рядом Котельникова // Радиотехника и электроника. 2015. Т. 60. № 5. С. 529-534.
16. Дмитриев И.С., Сличенко М.П. Особенности интерполяции 2π-периодических функций с финитным спектром Фурье на основе теоремы отсчетов // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2014. № 1.
17. Сличенко М.П. Представление многомерных периодических функций в виде конечной взвешенной суммы отсчетных значений // Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59. № 10. С. 1042-1049.