Е.И. Семерня – аспирантка, 

Московский физико-технический институт (государственный университет)

E-mail: poshisholina@gmail.com

С.П. Скобелев – д.ф.-м.н., вед. науч. сотрудник,  ПАО «Радиофизика» (Москва); 

доцент, Московский физико-технический институт (государственный университет) E-mail: s.p.skobelev@mail.ru

Постановка проблемы. Задача рассеяния волн на проницаемых телах вращения представляет большой интерес в электродинамике, так как ее решение имеет ряд важных технических приложений в радиолокации, антенной технике, метеорологии и медицинской диагностике.

Цель. Предложить способ сведения неопределенных интегралов от произведений функций Лежандра, возникающих при решении задач рассеяния волн на проницаемых телах вращения к аналитическим выражениям с использованием проекционных методов в сферической системе координат.

Результаты. Выведены явные выражения для интегралов от произведений функций Лежандра различной степени и одинакового порядка PpmPqm, рекуррентные соотношения для интегралов от произведения функций Лежандра одинаковой степени и порядка (Ppm)2, а также выражения для указанных интегралов через интегралы от произведения функций одинаковой степени, но на единицу меньшего порядка. Приведены примеры, характеризующие эффективность расчетов по выведенным формулам.

Практическая значимость. Использование выведенных формул позволяет уменьшать время вычислений в десятки раз.

1. Свешников А.Г. Дифракция на ограниченном теле // ДАН СССР. 1969. Т. 184. № 1. С. 63−65.
2. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Прямой метод для задач дифракции на локальном неоднородном теле // ЖВМ и МФ. 1971. Т. 11. № 4. С. 960−968.
3. Апельцин В.Ф., Ильинский А.С., Сабитов Б.Р. Обоснование модифицированного неполного проекционного метода для задач рассеяния от гидрометеоров // ЖВМ и МФ. 1986. Т. 26. № 10. С. 1535–1551.
4. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа. 1991.
5. Никольский В.В. Проекционный метод для незамкнутых электродинамических систем // Радиотехника и электроника. 1971. Т. 16. № 8. С. 1342−1351.
6. Малушков Г.Д. Рассеяние неоднородным диэлектрическим телом вращения // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1975. Т. 18. № 2. С. 269−279.
7. Stout B., Neviere M., Popov E. Light diffraction by a three-dimensional object: differential theory // J. Opt. Soc. Am. A. 2005. V. 22. № 11. P. 2385−2404.
8. Стреттон Дж. Теория электромагнетизма. М.: ОГИЗ. 1948.
9. Joy H.W. Integrals of products of associated Legendre functions // The Journal of Chemical Physics. 1962. V. 37. 3018−3019.
10. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть II. Трансцендентные функции. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963.
11. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1984.
12. Bruns H., Klinkenbusch L. Analytical normalization of the associated Legendre functions of the first kind of arbitrary degree and order // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2018. V. 66. № 10. P. 5643−5645.