Л.А. Калуцкий1
1 Институт гидродинамикиим. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск, Россия)
leon199703@gmail.com

Постановка проблемы. Несмотря на высокую практическую востребованность, комплексное влияние геометричес­кой нелинейности, размерных эффектов и пространственно-неоднородного упругого основания на напряженно-деформированные состояния (НДС) пористых функционально-градиентных микро-/нанопластин остается недоста­точно изученным.

Цель. Построить новую математическую модель гибких пористых функционально-градиентных микро-/нанопластин Кирхгофа на неоднородном упругом основании Винклера – Пастернака, при этом геометрическая нелинейность учитывается в рамках теории фон Кармана, а размерно-зависимые эффекты – в соответствии с модифицированной моментной теорией упругости; провести комплексное исследование влияния пористости, параметров упругого основа­ния и размерных эффектов на статический изгиб гибких пластин.

Результаты. Для решения системы нелинейных уравнений в частных производных применены и детально сравнены три метода: метод вариационных итераций (МВИ) как расширение метода Канторовича, метод Бубнова – Галеркина (МБГ) в высших приближениях и метод конечных разностей (МКР) второго порядка точности. Достоверность решений подтверждена верификацией с известными результатами. Установлено, что метод вариационных итераций демонст­рирует существенное превосходство в вычислительной эффективности (скорость расчета) при сохранении высокой точности (погрешность менее 1% относительно эталонных решений) по сравнению с классическими подходами.
С использованием МВИ выполнен параметрический анализ, показавший значительное влияние (до 40%) размерно-зависимого параметра на несущую способность. Исследовано влияние локализации упругого основания (в углу и в центре пластины) на статический изгиб, выявлены качественные изменения формы деформированной поверхности.

Практическая значимость. Разработанная модель и высокоэффективный вычислительный алгоритм на основе метода вариационных итераций позволяют проводить точный и быстрый расчет перспективных элементов микро-/наноэлектромеханических систем (МЭМС/НЭМС) и функционально-градиентных конструкций нового поколения, что необходимо для их оптимального проектирования.

Калуцкий Л.А. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния гибких пористых функцио­нально-градиентных пластин на локальном упругом основании Винклера – Пастернака // Нелинейный мир. 2026.
Т. 24. № 1. С. 46–61. DOI: https://doi.org/10.18127/ j20700970-202601-04

1. Keleshteri M.M., Asadi H., Aghdam M.M. Nonlinear bending analysis of FG-CNTRC annular plates with variable thickness on elastic foundation. Thin-Walled Structures. 2019. V. 135. P. 453–462.
2. Civalek O., Yavas A. Large deflection static analysis of rectangular plates on two parameter elastic foundations. International Journal of Science and Technology. 2006. V. 1. № 1. P. 43–50.
3. Pham Q.H., Tran T.T., Tran V.K., Nguyen P.C., Nguyen-Thoi T. Free vibration of functionally graded porous non-uniform thickness annular-nanoplates resting on elastic foundation using ES-MITC3 element. Alexandria Engineering Journal. 2022. V. 61. № 3. P. 1788–1802.
4. Civalek O. Harmonic differential quadrature-finite differences coupled approaches for geometrically nonlinear static and dynamic analysis of rectangular plates on elastic foundation. Journal of Sound and Vibration. 2006. V. 294. № 4–5. P. 966–980.
5. Dung N.T., Van Ke T., Huyen T.T.H., Van Minh P. Nonlinear static bending analysis of microplates resting on imperfect two-parameter elastic foundations using modified couple stress theory. Comptes Rendus. Mécanique. 2022. V. 350. № G1. P. 121–141.
6. Zhang L.W., Liew K.M. Large deflection analysis of FG-CNT reinforced composite skew plates resting on Pasternak foundations using an element-free approach. Composite Structures. 2015. V. 132. P. 974–983.
7. Zhang L.W., Song Z.G., Liew K.M. Nonlinear bending analysis of FG-CNT reinforced composite thick plates resting on Pasternak foundations using the element-free IMLS-Ritz method. Composite Structures. 2015. V. 128. P. 165–175.
8. Mashat D.S., Zenkour A.M., Radwan A.F. A quasi-3D higher-order plate theory for bending of FG plates resting on elastic foundations under hygro-thermo-mechanical loads with porosity. European Journal of Mechanics-A/Solids. 2020. V. 82. P. 103985.
9. Wattanasakulpong N., Chaikittiratana A. Exact solutions for static and dynamic analyses of carbon nanotube-reinforced composite plates with Pasternak elastic foundation. Applied Mathematical Modelling. 2015. V. 39. № 18. P. 5459–5472.
10. Duc N.D., Lee J., Nguyen-Thoi T., Thang P.T. Static response and free vibration of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite rectangular plates resting on Winkler – Pasternak elastic foundations. Aerospace Science and Technology. 2017. V. 68. P. 391–402.
11. Mantari J.L., Granados E.V. An original FSDT to study advanced composites on elastic foundation. Thin-Walled Structures. 2016. V. 107. P. 80–89.
12. Zhang B., He Y., Liu D., Shen L., Lei J. An efficient size-dependent plate theory for bending, buckling and free vibration analyses of functionally graded microplates resting on elastic foundation. Applied Mathematical Modelling. 2015. V. 39.
    № 13. P. 3814–3845.
13. Li Q., Wu D., Gao W., Tin-Loi F., Liu Z., Cheng J. Static bending and free vibration of organic solar cell resting on Winkler-Pasternak elastic foundation through the modified strain gradient theory. European Journal of Mechanics-A/Solids. 2019. V. 78. P. 38–52.
14. Huang Z.Y., Lü C.F., Chen W.Q. Benchmark solutions for functionally graded thick plates resting on Winkler – Pasternak elastic foundations. Composite Structures. 2008. V. 85. № 2. P. 95–104.
15. Akgöz B., Civalek O. Bending analysis of embedded carbon nanotubes resting on an elastic foundation using strain gradient theory. Acta Astronautica. 2016. V. 119. P. 1–12.
16. Fan Y., Xiang Y., Shen H.S. Nonlinear forced vibration of FG-GRC laminated plates resting on visco-Pasternak foundations. Composite Structures. 2019. V. 209. P. 443–452.
17. Adineh M., Kadkhodayan M. Three-dimensional thermo-elastic analysis and dynamic response of a multi-directional functionally graded skew plate on elastic foundation. Composites Part B: Engineering. 2017. V. 125. P. 227–240.
18. Arshid E., Amir S., Loghman A. Static and dynamic analyses of FG-GNPs reinforced porous nanocomposite annular micro-plates based on MSGT. International Journal of Mechanical Sciences. 2020. V. 180. P. 105656.
19. Silva A.R., Silveira R.A., Gonçalves P.B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations. International Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. № 10–13. P. 2083–2100.
20. Al Khateeb S.A., Zenkour A.M. A refined four-unknown plate theory for advanced plates resting on elastic foundations in hygrothermal environment. Composite Structures. 2014. V. 111. P. 240–248.
21. Zenkour A.M., Allam M.N.M., Radwan A.F. Effects of hygrothermal conditions on cross-ply laminated plates resting on elastic foundations. Archives of Civil and Mechanical Engineering. 2014. V. 14. P. 144–159.
22. Alzahrani E.O., Zenkour A.M., Sobhy M. Small scale effect on hygro-thermo-mechanical bending of nanoplates embedded in an elastic medium. Composite Structures. 2013. V. 105. P. 163–172.
23. Bot I.K., Bousahla A.A., Zemri A. et al. Effects of Pasternak foundation on the bending behavior of FG porous plates in hygrothermal environment. Steel and Composite Structures. 2022. V. 43. № 6. P. 821–841.
24. Baghdali I., Attia A., Bourada F. et al. Analysis of the impact of the viscoelastic foundation on bending and vibration of FG porous nanoplates within integral higher-order shear deformation theory. Physical Mesomechanics. 2025. V. 28. № 2. P. 245–262.
25. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Jr, Kalutsky L.A., Krysko V.A. Computing static behavior of flexible rectangular von Kármán plates in fast and reliable way. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2022. V. 146. P. 104162.
26. Krysko V.A. Jr., Awrejcewicz J., Kalutsky L.A., Krysko V.A. Quantification of various reduced order modelling computational methods to study deflection of size-dependent plates. Computers & Mathematics with Applications. 2023. V. 133. P. 61–84.
27. Tebyakin A.D., Kalutsky L.A., Yakovleva T.V., Krysko A.V. Application of Variational Iterations Method for Studying Physically and Geometrically Nonlinear Kirchhoff Nanoplates: A Mathematical Justification. Axioms. 2023. V. 12. № 4. P. 355.
28. Krysko A.V., Gubaidullin D.A., Kalutsky L.A., Krysko V.A. Nonlinear deformations of size-dependent porous functionally graded plates in a temperature field. International Journal of Solids and Structures. 2024. V. 293. P. 112759.
29. Krysko A.V., Kalutsky L.A., Krysko V.A. Stress-strain state of a porous flexible rectangular FGM size-dependent plate subjected to different types of transverse loading: Analysis and numerical solution using several alternative methods. Thin-Walled Structures. 2024. V. 196. P. 111512.
30. Крысько А.В., Калуцкий Л.А., Захарова А.А., Крысько В.А. Математическое моделирование пористых геометрически нелинейных металлических нанопластин с учетом влажности // Изв. Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2023. Т. 334. № 9. С. 36–48.
31. Awrejcewicz J., Kalutsky L.A., Zhigalov M.V., Krysko V.A. Review of the methods of transition from partial to ordinary differential equations: from macro-to nano-structural dynamics. Archives of Computational Methods in Engineering. 2021. V. 28. № 7. P. 4781–4813.
32. Крысько А.В., Калуцкий Л.А., Захарова А.А., Крысько В.А. Математическое моделирование функционально-градиентных пористых геометрически нелинейных микро/наноцилиндрических панелей // Изв. Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2024. Т. 335. № 3. С. 216–229.
33. Кириченко В.Ф., Крысько В.А. Метод вариационных итераций в теории пластин и оболочек и его обоснование // Прикладная механика. 1981. Т. XVII. № 4. С. 71–76.
34. Shahmohammadi M.A., Abdollahi P., Salehipour H. Geometrically nonlinear analysis of doubly curved imperfect shallow shells made of functionally graded carbon nanotube reinforced composite (FG_CNTRC). Mechanics Based Design of Structures and Machines. 2022. V. 50. № 11. P. 3796–3820.
35. Shen H.S. Nonlinear bending of shear deformable laminated plates under transverse and in-plane loads and resting on elastic foundations. Composite Structures. 2000. V. 50. № 2. P. 131–142.
36. Yang J., Liew K.M., Wu Y.F., Kitipornchai S. Thermo-mechanical post-buckling of FGM cylindrical panels with temperature-dependent properties. International Journal of Solids and Structures. 2006. V. 43. № 2. P. 307–324.
37. Fan F., Xu Y., Sahmani S., Safaei B. Modified couple stress-based geometrically nonlinear oscillations of porous functionally graded microplates using NURBS-based isogeometric approach. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2020. V. 372. P. 113400.
38. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластинки и панели. М.: Наука. 1968.
39. Lam D.C.C., Yang F., Chong A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003. V. 51. P. 1477–1508.
40. Ke L.L., Wang Y.S., Yang J., Kitipornchai S. Free vibration of size-dependent Mindlin microplates based on the modified couple stress theory. Journal of Sound and Vibration. 2012. V. 331. № 1. P. 94–106.
41. Shojaeefard M.H., Googarchin H.S., Ghadiri M., Mahinzare M. Micro temperature-dependent FG porous plate: Free vibration and thermal buckling analysis using modified couple stress theory with CPT and FSDT. Applied Mathematical Modelling. 2017. V. 50. P. 633–655.
42. Mohammad L.N., Titi H.H., Herath A. Effect of moisture content and dry unit weight on the resilient modulus of subgrade soils predicted by cone penetration test. Louisiana Transportation Research Center, 2002. 355.