Е.В. Лисовский1, О.В. Дружинина2

1 Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Калуга, Россия)

2 ФИЦ «Информатика и управление» РАН (Москва, Россия)

Постановка проблемы. Многие процессы естествознания и техники моделируются нелинейными системами уравнений с распределенными параметрами. Теоретический и прикладной интерес представляет класс моделей, задаваемых с помощью уравнений Бюргерса, а также его обобщений и модификаций. Модели этого класса применяются для математического описания движения жидкости и газа, процессов нелинейной акустики и космологии, особенностей транспортного потока, а также в задачах описания и изучения явления турбулентности. Поэтому разработка методов исследования устойчивости состояний равновесия моделей этого класса является актуальным направлением. Анализ устойчивости таких систем эффективно проводить с помощью обобщенного прямого метода Ляпунова или математического моделирования с помощью абстрактных эволюционных уравнений. 

Цель. Дать обзор основных направлений исследования модели Бюргерса и ее некоторых обобщений, а также рассмотреть подход к анализу качественного поведения решений для модифицированной модели Бюргерса в случае двухскоростной среды. 

Результаты. Сделан обзор основных направлений исследования уравнения Бюргерса и его некоторых обобщений. Изучен класс моделей с распределенными параметрами на основе метода математического моделирования с помощью абстрактных эволюционных уравнений. Рассмотрен подход к анализу устойчивости состояний равновесия для модифицированной модели Бюргерса в случае двухскоростной среды. Отмечено, что для получения достаточных признаков устойчивости использованы переход к линеаризованным уравнениям и прямой метод Ляпунова.

Практическая значимость. Полученные результаты могут найти применение при решении задач моделирования и устойчивости нелинейных динамических систем с распределенными параметрами. 

Лисовский Е.В., Дружинина О.В. Анализ устойчивости состояний равновесия нелинейных моделей с распределенными параметрами // Нелинейный мир. 2021. Т. 19. № 4. С. 50−59. DOI: https://doi.org/10.18127/j20700970-202104-06

1. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advances in Applied Mechanics. 1948. V. 1.  P. 171–199.
2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970.
3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир. 1985.
4. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир. 1981.
5. Olver P. Introduction to Partial Differential Equations. Heidelberg, New York: Springer. 2013.
6. Bec J., Khanin K. Burgers turbulence// Physics Reports. 2007. V. 447. Is. 1−2. P. 1–66.
7. Hopf E. The partial differential equation u uut +          x =μuxx // Comm. Pure Appl. Math. 1950. V. 3. P. 201–230.
8. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics// Quart. Appl. Math. 1951. V. 9. P. 225–236.
9. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. Изд. 2-е, доп. М.: Наука. 1990; URSS. 2007.
10. Карабутов А.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В. О взаимодействии светового излучения со звуком в условиях проявления акустической нелинейности // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. № 1(7). С. 111–121.
11. Журавлев В.М. Метод обобщенных подстановок Коула–Хопфа и новые примеры линеаризуемых нелинейных эволюционных уравнений // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158. № 1. C. 58−71.
12. Кудрявцев А.Г., Сапожников О.А. Получение точных решений неоднородного уравнения Бюргерса с использованием преобразования Дарбу // Акустический журнал. 2011. Т. 57. № 3. С. 313–322.
13. Петровский С.В. Точные решения уравнения Бюргерса с источником // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. Вып. 8. С. 10–14.
14. Самохин А.В. Об устойчивости инвариантных решений уравнения Бюргерса на интервале // Научный вестник МГТУ ГА. Серия «Математика и физика». 2009. № 140. С. 29–35. 
15. Nefedov N., Recke L., Schneider K. Existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reactionadvection-diffusion equations // J. of Math. Analysis and Appl. 2013. V. 405. № 1. P. 90–103. 
16. Волков В.Т., Нефедов Н.Н. Асимптотическое решение коэффициентных обратных задач для уравнения типа Бюргерса // ЖВМ и МФ. 2020. Т. 60. № 6. С. 975−984.
17. Fahmy E.S., Raslan K.R., Abdusalam H.A. On the exact and numerical solution of the time-delayed Burgers equation // Int. J. Comput. Math. 2008. V. 85. № 11. P. 1637–1648.
18. Имомназаров Х.Х., Турдиев У.К. Об одной системе уравнений типа Бюргерса, возникающей в двухжидкостной среде // Интерэкспо Гео-Сибирь. 2018. № 4. С. 95−103. 
19. Зыбин К.П., Ильин А.С. Свойства турбулентности, возникающей под воздействием внешней случайной силы в модели Бюргерса // УФН. 2016. Т. 186. С. 1349–1353.
20. Мажукин В.И., Самарский А.А., Орландо Кастельянос, Шапранов А.В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами // Математическое моделирование. 1993. Т. 5. № 4. С. 32–56.
21. Сальников Н.Н., Сирик С.В., Терещенко И.А. О построении конечномерной математической модели процесса конвекции-диффузии с использованием метода Петрова-Галеркина // Проблемы управления и информатики. 2010. № 3.  С. 94−109.
22. Сирик С.В., Сальников Н.Н. Численное интегрирование уравнения Бюргерса методом Петрова−Галеркина с адаптивными весовыми функциями // Проблемы управления и информатики. 2012. № 1. C. 94−110.
23. Молчанов А.А., Сирик С.В., Сальников Н.Н. Выбор весовых функций в методе Петрова−Галеркина для интегрирования двумерных нелинейных уравнений типа Бюргерса // Математичні машини і системи. 2012. № 2. С. 136−144.
24. Вьюнник Н.М., Захаров Ю.Н., Кириченко А.А., Лобасенко Б.А., Рагулин В.В. Разработка модели движения жидкости с переменными плотностью и вязкостью в устройстве для отвода диффузионного слоя // Вестник КемГУ. 2015.  № 4−3(64). С. 128–134.
25. Зайцев А.В., Кудашов В.Н. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств». 2014. № 2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru.
26. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов. I, II, III // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 9. С. 1475–1490; 1987. Т. 23. № 3. С. 371–387; 1987. Т. 23. № 6.  С. 923–936.
27. Шестаков А.А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск: Наука. 1987. С. 14–48.
28. Shestakov A.A. A survey on the theory of localization of limit sts in dynamical processes by using Lyapunov functionals // Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai 47. Differential Equations: Qualitative theory. Szeged (Hungary). 1984. P. 997–1028.