О.В. Дружинина - д.ф.-м.н., профессор, гл. науч. сотрудник, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН. E-mail: ovdruzh@mail.ru О.Н. Масина - д.ф.-м.н., зав. кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. E-mail: olga121@inbox.ru

Проведен анализ устойчивости нелинейных моделей популяционной динамики, а именно: моделей «хищник-жертва-мутуалист», «конкурент-конкурент-мутуалист» и «конкурент-мутуалист-конкурент-мутуалист». Исследована дивергентным методом устойчивость. Предложены достаточные условия равномерной устойчивости состояний равновесия. Показано, что результаты могут быть использованы при решении задач устойчивости детерминированных нелинейных динамических моделей, а также для сравнения свойств указанных моделей со свойствами соответствующих стохастических моделей.

 

1. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука. 1971-1972.
2. Bendixon I. Sur les courbes definis par des equations differentielles // Acta Mathematica. 1901. V. 24. P. 1-88. (Рус. пер. 1 гл.: Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // УМН. 1941. № 9).
3. Brauchli H.I. Index, Divergenz und Stabilität in Autonomen Systemen. Zürich: Abhandlung Verlag. 1968.
4. Zaremba S.K. Divergence of vector fields and differential equations // Amer. Journal of Math. 1954. V. LXXVI. P. 220-234.
5. Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 18. № 4. С. 650-661.
6. Степанов А.Н., Шестаков А.А. О дивергентных критериях для различения типов особых точек // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений // Сб. науч. трудов. Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарёва. 1974. С. 10-17.
7. Li Li. The application of Jacobi factor in the stability theory of ordinary differential equations // Appl. Math. Mech. 1984. V. 5. № 5. P. 1609-1615.
8. Hartman P. On stability in the large for systems of ordinary differential equations // Canad. J. Math. 1961. V. 13. P. 480-492.
9. Hartman P., Olech C. On global asymptotic stability of solutions of differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 104. P. 154-178.
10. Дружинина О.В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: ВЦ РАН. 2007.
11. Дружинина О.В. Индекс, дивергенция и функции Ляпунова в качественной теории динамических систем. М.: Изд-во URSS. 2013.
12. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы анализа устойчивости динамических систем интеллектного управления. М.: Изд-во URSS. 2015.
13. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости управляемых технических систем индексно-дивергентным методом // Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 10. С. 677-682.
14. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости технических систем управления на основе свойств векторных полей // Наукоемкие технологии, 2011. Т. 12. № 7. С. 57-61.
15. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978.
16. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука. 1983.
17. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование существования и устойчивости решений дифференциальной системы экологической динамики с учетом конкуренции и диффузии // Нелинейный мир. 2009. Т. 7. № 11. С. 881-888.
18. Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости модели популяционной динамики на основе построения стохастических самосогласованных моделей и принципа редукции // Вестник РУДН. Сер. «Математика. Информатика. Физика». 2015. № 3. С. 18-29.
19. Дружинина О.В., Масина О.Н. Системный подход к исследованию устойчивости моделей, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов // Вестник Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 2015. T. 15. № 3. С. 24-30.
20. Масина О.Н., Дружинина О.В. Существование устойчивых состояний равновесия и предельные свойства решений обобщенных систем Лотки-Вольтера // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. «Физика. Математика». 2007. № 1. С. 55-57.
21. Dean A.M. A simple model of mutualism // Am. Nat. 1983. V. 121. P. 409-417.
22. Kumar R., Freedman H.I. A mathematical model of facultative mutualism with populations interacting in a food chain // Math. Biosci. 1989. V. 97. 235-261.
23. Freedman H.I., Rai B. Uniform persistence and global stability in models involving mutualism Competitor-competitor-mutualist systems // Indian J. Math. 1988. V. 30. P. 175-186.
24. Rai B., Freedman H.I., Addicott J.F. Analysis of three species models of mutualism in predator-prey and competitive systems // Math. Biosci. 1983. № 63. С. 13-50.
25. Freedman H. I., Rai B. Can mutualism alter competitive outcome: a mathematical analysis // Rocky Mountain. 1995. V. 25. № 1. P. 217-230.
26. Addicott J.F. Stability properties of 2-species models of mutualism: simulation studies // Oecologia. 1981. V. 49. P. 42-49.
27. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.
28. Масина О.Н., Щербаков А.В. Анализ устойчивости модели взаимодействия двух конкурирующих особей с учетом симбиоза // Материалы Международной научно-практической конференции «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования», посвященной 95-летию со дня рождения профессора А.А. Шестакова (Елец, 2-3 апреля 2015 г.). Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015. С. 93-97.