Ж.Е. Еграшкина - аспирант, Ульяновский государственный университет. E-mail: kartoxena@gmail.com Н.О. Седова - д.ф.-м.н., профессор, Ульяновский государственный университет. E-mail: nata-sedova@yandex.ru

Изложены результаты анализа устойчивости и стабилизации для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, основанные на ее представлении в виде непрерывной системы Такаги-Сугено и выражаемые в терминах линейных матричных неравенств. Дан обзор существующих результатов, использующих различные подходы, обсуждаются их преимущества и недостатки, а также направления дальнейших исследований.

 

1. Андреев А.С. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах о стабилизации и управлении нелинейной системой // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости: Сб. научн. статей, посвященный памяти академика В.В. Румянцева. М.: Физматлит. 2009. С. 218 - 226.
2. Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86. № 3. С. 453 - 456.
3. Васильев С.Н. К интеллектному управлению // Нелинейная теория управления и ее приложения. М.: Физматлит. 2000.  С. 57 - 126.
4. Васильев С.Н., Маликов А.И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем // Сб. статей «Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН». Казань: Фолиант. 2011. Т. 1.  С. 23 - 81.
5. Горюшкин В.А. О синтезе регулятора для стабилизации нечеткой системы с неопределенностью // Вестник КРАУНЦ.  Физ.-мат. Науки. 2011. №2(3). С. 5 - 11.
6. Дружинина О.В., Масина О.Н., Игонина Е.В. Разработка алгоритмов стабилизации управляемых систем на основе свойств линейных матричных неравенств // Наукоемкие технологии. 2013. Т. 14. № 6. С. 4 - 8.
7. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Стабилизация дескрипторных систем управления // Наукоемкие технологии. 2012. Т.13. № 11. С. 3 - 5.
8. Еграшкина Ж.Е.Точное представление нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде нечетких линейных моделей Такаги-Сугено // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 2. С. 16 - 24.
9. Заде Л.А.Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Сб. статей «Математика сегодня». М.: Знание. 1974. С. 5 - 49.
10. Масина О.Н., Дружинина О.В., Афанасьева В.И. Анализ устойчивости дискретных систем управления на основе функций Ляпунова и свойств линейных матричных неравенств // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2011.  Т. 9. № 7. С. 53-62.
11. Усков А.А.Cистемы с нечеткими моделями объектов управления: монография. Смоленск. 2013.
12. Ярушкина Н.Г. Нечеткие системы: обзор итогов и тенденций развития // Искусственный интеллект и принятие решений. 2008. № 4. С. 26 - 38.
13. Baranyi P., Korondi P., Patton R.J., Hashimoto H. Trade-off between approximation accuracy and complexity for TS fuzzy models // Asian Journal of control. 2004. V. 6. P. 21 - 33.
14. Baranyi P., Yam Y., Várlaki P. Tensor Product Model Transformation in Polytopic Model-Based Control. CRC Press-Taylor and Frances Group. 2013.
15. Bernal M., Guerra T. M., Kruszewski A. A membership function-dependent approach for stability analysis and controller synthesis of Takagi-Sugeno models // Fuzzy sets and systems, 2009. V. 160(19). P. 2776-2795.
16. Branicky M.S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems // IEEE Transactions on automatic control. 1998. V. 43. № 4. P. 475 - 482.
17. Chadli M., Maquin D., Ragot J. Nonquadratic stability analysis of Takagi-Sugeno models // Proc. of the 41th IEEE CDC. Las Vegas. Nevada. 2002. P. 2143 - 2148.
18. Feng G. A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 2006. V. 14 (5).  P. 676-697.
19. Feng G. Stability analysis of discrete-time fuzzy dynamic systems based on piecewise Lyapunov functions // IEEE Trans. on Fuzzy Syst. 2004. V. 12(1). P. 22 - 28.
20. Feng G., Chen C.-L., Sun D., Zhu Y. H_∞ controller synthesis of fuzzy dynamic systems based on piecewise Lyapunov functions and bilinear matrix inequalities // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on. 2005. V. 13(1). P. 94-103.
21. Hassibi A., Boyd S. Quadratic stabilization and control of piece-wise-linear systems // Proceedings of the American Control Conference. Philadelphia, 1998. P.3659 - 3664.
22. Jaadari A. Continuous quasi-LPV systems: how to leave the quadratic framework - // PhD Thesis, Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis (France). Universitat Politècnica de València (Spain). 2013.
23. Johanson M., Rantzer A., Arzen K. Piecewise quadratic stability of fuzzy systems // IEEE Trans. on Fuzzy Systems. V.7. 1999.  P. 713-722.
24. Lendek Zs., Babuska R., De Schutter B. Stability of cascaded fuzzy systems and observers // IEEE Transactions on fuzzy systems. 2009. V. 17. № 3. P. 641-653.
25. Manai Y., Benrejeb M.New condition of stabilization for continuous Takagi-Sugeno fuzzy system based on fuzzy Lyapunov function // International Journal of Control and Automation. 2011. V. 4. № 3. P. 51 - 63.
26. Mozelli L. A., Palhares R. M., Avellar G. S. A systematic approach to improve multiple lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems // Information Sciences.  2009. V. 179(8). P. 1149 - 1162.
27. Mozelli L.A., Palhares R.M., Souza F.O., Mendes E.M.  Reducing conservativeness in recent stability conditions of TS fuzzy systems // Automatica. 2009. V. 45. № 1. P. 1580 - 1583.
28. Pettersson S. Analysis and design of hybrid systems // Ph.D. dissertation. Chalmers University of Technology. Goteborg. Sweden. June 1999.
29. Pitarch J. L., Sala A., Ariño C. V.Closed-form estimates of the domain of attraction for nonlinear systems via fuzzy-polynomial models //IEEE Transactions on Cybernetics. 2014. V. 44(4). P. 526 - 538.
30. Prajna S., Papachristodoulou A., Wu F.Nonlinear control synthesis by sum of squares optimization: a Lyapunov-based approach // Control Conf., 5th Asian. 2004. V. 1. P. 157 - 165.
31. Sala A., Ariño C. V. Relaxed stability and performance conditions for Takagi-Sugeno fuzzy systems with knowledge on membership function overlap // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. Part B: Cybernetics. 2007. V. 37. № 3. P. 727-732.
32. Seidi M., Hajiaghamemar M., Segee B. Fuzzy Control Systems: LMI-Based Design, Fuzzy Controllers-Recent Advances in Theory and Applications // InTech. 2012. P. 441 - 464.
33. Setnes M., Babuska R., Verbruggen H.B. Rule-based modeling: Precision and transparency // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics - Part C: Applications and Reviews. 1998. V. 28. № 1. P.165 - 169.
34. Tanaka K., Hori T., Wang H. O. A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems // IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2003. V. 11(4). P. 582 - 589.
35. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. 1992. V. 45. № 2. P. 135 - 156.
36. Tanaka K., Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. N.Y.: Wiley. 2001.
37. Tanaka K., Yoshida H., Ohtake H., Wang H. O. A sum-of-squares approach to modeling and control of nonlinear dynamical systems with polynomial fuzzy systems // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on. 2009. V. 17(4). P. 911 - 922.
38. Wicks M., Peleties P., DeCarlo R. Switched controller synthesis for the quadratic stabilization of a pair of unstable linear systems // Eur. J. Contr. 1998. V. 4. P. 140 - 147.
39. Yen J., Wang L. Simplifying fuzzy rule-based models using orthogonal transformation methods // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part B:Cybernetics. 1999. V. 29. № 1. P. 13 - 24.
40. Yeong-Hwa Chang, Chang C.W., Chan W.S., Taur J. S., Tao C.W.  Robust and stable hybrid fuzzy control of a pendulum-cart system with particle swarm optimization // International Journal of Fuzzy Systems. 2010. V. 12. № 1. P. 48 - 58.