Т.В. Якунина – ст. преподаватель, кафедра фундаментальной подготовки, 

Саяно-Шушенский филиал ФГАОУ ВО «Сибирский федеральный университет» (г. Саяногорск)

E-mail: tatav19@mail.ru 

В.Н. Удодов – д.ф.-м.н. профессор, 

Инженерно-технологический институт, 

ФГБОУ ВО «Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова» (г. Абакан)

E-mail: udodov@khsu.ru

Постановка проблемы. Основная сложность при решении задачи связей теории протекания состоит в построении покрывающей решетки (или матрицы смежности) и описании ее на языке программирования. Существенно также, что общего алгоритма построения покрывающей решетки и матрицы смежности сформулировать не удается при произвольном радиусе протекания даже для одномерного случая.

Цель работы – разработка методов и алгоритмов решения одномерных задач связей для систем конечного (нанометрового) размера без построения покрывающих решеток и матрицы смежности для произвольного радиуса протекания.

Результаты. Предложены новые алгоритм нумерации связей одномерной решетки (без построения покрывающей решетки и матрицы смежности) и алгоритм, позволяющий находить перколяционный порог для решеток произвольного размера с произвольным радиусом протекания. Разработан метод нахождения свободной энергии и критического индекса теплоемкости для одномерной задачи связей. Вычислены аналог свободной энергии и критический индекс теплоемкости для одномерных решеток размером 40 узлов с нулевым внешним полем. Рассчитана зависимость критического индекса теплоемкости от доли целых связей при различном радиусе протекания в одномерной перколяционной задаче. Получена зависимость аналога свободной энергии от доли целых связей.

Практическая значимость. Предложены алгоритмы решения задачи связей для одномерной решетки и нахождения перколяционного порога для решеток произвольного размера с произвольным радиусом протекания без построения покрывающей решетки и матрицы смежности. Эти алгоритмы работают на ЭВМ существенно быстрее известных.

Представленные результаты могут найти применение при моделировании прыжковой проводимости полупроводников при низких температурах, политипных превращений с особенностями в нанометровом диапазоне в плотноупакованных кристаллах. В рамках предложенного подхода возможно также вычисление и других критических индексов.

1. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учеб. пособие для вузов. Изд. 3-е, испр. М.: Едиториал УРСС. 2003. 144 с. 
2. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир. 1982. 592 с. 
3. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка М.: Наука. 1982. 176 с.
4. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред // УФН. 1975. Т.117. Вып. 3.  С. 401–435.
5. Архинчеев В.Е. О связи проводимости и диффузии при блуждании по самоподобным кластерам // Письма в ЖЭТФ. 1998.  Т. 67. Вып. 7. С. 518–520.
6. Буреева М.А., Удодов В.Н. Моделирование задачи связей одномерной теории перколяции на неориентированном графе // Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 11. С. 72–82.
7. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы: Учеб. пособие. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ». 2012. 112 с.
8. Мартыненко М.В. Моделирование переноса заряженных частиц в низкоразмерных неоднородных системах на основе перколяционного подхода: Дис. … канд. физ.-мат. наук. Красноярск. 2002. 114 с.
9. Мартыненко М.В., Удодов В.Н., Потекаев А.И. Некоторые модели транспорта с переменной длиной прыжка в одномерной неоднородной среде // «Моделирование неравновесных систем – 2001». Материалы IV Всеросс. семинара. Красноярск. 2001. С. 96–97.
10. Волкова Т.В., Буреева М.А. Зависимость порога протекания от длины цепочки и от радиуса протекания для модели одномерной перколяции // Физика и химия высокоэнергетических систем: Сборник материалов IV Всерос. конф. молодых ученых (22–25 апреля 2008 г.). Томск: ТМЛ-Пресс. 2008. С. 182–184.
11. Волкова Т.В., Буреева М.А., Удодов В.Н., Потекаев А.И. Задача связей в одномерной теории перколяции для конечных систем // Изв. вузов. Сер. Физика. 2010. № 2. С. 33–39.
12. Св-во о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2013612041 (РФ). Порог протекания и индекс корреляционной длины в задачах связей / Т.В. Волкова. 2013.
13. Св-во о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2014611071 (РФ). Критический индекс теплоемкости в одномерной задаче связей / Т.В. Волкова 2014.
14. Мартыненко М.В., Удодов В.Н., Потекаев А.И. Аномальная диффузия в модели с переменным радиусом протекания // Изв. вузов. Сер. Физика. 2000. №10. С. 67–71.
15. Удодов В.Н., Потекаев А.И., Попов А.А., Еремеев С.В., Кулагина В.В., Мартыненко М.В., Молчанова Е.А. Моделирование фазовых превращений в низкоразмерных дефектных наноструктурах / Под общ. ред. В.Н. Удодова. Абакан: Изд-во ХГУ им. Н.Ф. Катанова. 2008. 135 с.