С.В. Лазаренко1

1 Донской государственный технический университет (г. Ростов-на-Дону, Россия)

1 lazarenkosv@icloud.com

Постановка проблемы. Рассматриваются динамические системы, удовлетворяющие принципу Даламбера–Лагранжа. Ставится задача синтеза управлений как обратная задача динамики, решение которой сопряжено с известной проблемой. Ее разрешение может основываться на редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче, что требует поиска условий минимума соответствующего расширенного целевого функционала. Это приводит к получению вариационного неравенства. На его основе установлено, что синтез управлений может базироваться на получении условий оптимальности с использованием ограничений, следующих из дифференциального и интегральных вариационных принципов. Для этого необходимо использовать ограничения в форме уравнения Даламбера–Лагранжа, интеграла действия Гамильтона – Остроградского или энергии ускорений Аппеля при построении свертки указанных выражений с целевым функционалом.

Цель. Провести синтез управлений электромеханическими системами с использованием редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче.

Результаты. Решена задача синтеза управления с применением принципа максимума Л.С. Понтрягина и результатов редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче. Аналитически установлено соответствие полученных решений, что дополнительно подтверждается приведенными на фазовом портрете результатами математического моделирования. Показано, что приложение стесняющих краевую задачу условий трансверсальности позволяет синтезировать новый квазиоптимальный закон управления в форме, учитывающей терминальные условия. Установлено, что на конечном участке траектории управления отличаются моментами времени смены знака, а расчеты демонстрируют приемлемый на практике проигрыш по показателю качества синтезированного терминального управления оптимальному.

Практическая значимость. Практическая значимость полученных результатов определяется тем, что синтез управлений с использованием редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче не требует разрешения известной двухточечной краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина. Это значительно упрощает решение в случае задачи большой размерности. Кроме того, в ряде практических приложений близости решения к оптимальному оказывается достаточно.

Область применения полученных результатов – синтез квазиоптимальных электромеханических систем управления.

Лазаренко С.В. Принцип Даламбера-Лагранжа как основа синтеза управлений с использованием редукции к изопериметрической задаче // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2025. Т. 23. № 2. С. 19−30. DOI: https://doi.org/ 10.18127/j20700814-202502-03

1. Новые концепции общей теории управления: Сб. научных трудов / Под ред. А.А. Красовского. Москва-Таганрог: ТРТУ. 1995. 183 с.
2. Бойко Ю.Д., Верналь А.А., Федорчук В.А. Об одном способе синтеза нелинейных регуляторов управляемых динамических систем // Электромашиностроение и электрооборудование. 2008. № 70. С. 132−137.
3. Колесников Ал.А. Управление нелинейными колебаниями. Энергетические инварианты // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2009. № 2. С. 24−37.
4. Колесников Ал.А. Метод нелинейного синергетического управления системами активной виброзащиты // Технологии техносферной безопасности. 2013. № 4 (50). С. 8.
5. Лазаренко С.В. Метод синтеза оптимального управления с использованием принципа Гаусса // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2013. Т. 11. № 12. С. 37−43.
6. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Метод синтеза терминальных управлений с использованием энергии ускорений аппеля в задачах информационно-алгоритмического обеспечения робототехнических комплексов // Информатизация и связь. 2018. № 6. С. 26−32.
7. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Метод квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче с использованием асинхронного варьирования // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2021. Т. 6. № 6. С. 3−12.
8. Лазаренко С.В. Синтез интеллектуального закона управления электровозом на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. 2024. № 3. С. 119−129.
9. Новоселов В.С. Вариационные методы в механике. Изд-во Ленинградского университета. 1966. 73 с.
10. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ. 1961. 824 с.
11. Голубев Ю.Ф. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления и аналитической механике. Часть 1: Метод Охоцимского-Понтрягина в аналитической механике // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2008. № 6. С. 38−44.
12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1983. 392 с.
13. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие для вузов по спец. «Автоматика и упр. в техн. системах». М.: Высшая школа. 1989. 263 с.
14. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Синтез оптимальных по быстродействию систем на основе объединенного принципа максимума // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2007. № 12. С. 34−40.
15. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука. 1987. 712 с.
16. Майкова О.Е. Субоптимальные режимы в задаче Фуллера // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2002. С. 226−229.
17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики». 1976. Т. 6. С. 133−259.