О.В. Дружинина - д.ф.-м.н., профессор, гл. науч. сотрудник, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН (Москва) E-mail: ovdruzh@mail.ru О.Н. Масина - д.ф.-м.н., зав. кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина E-mail: olga121@inbox.ru А.А. Петров - аспирант, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина E-mail: xeal91@yandex.ru

Рассмотрены технические системы, моделируемые дифференциальными включениями. Проанализированы подходы к нахождению оптимального управления движением указанных систем; первый подход связан с построением динамической модели в двумерном пространстве с учетом многозначности и критериев оптимальности; второй подход является развитием первого и базируется на построении модели в трехмерном пространстве с учетом вариативности и многозначности; третий подход является обобщением первого и второго подходов в случае, когда учитывается сопротивление воздуха. На основе третьего подхода предложена обобщенная динамическая модель и разработан алгоритм с использованием искусственных нейронных сетей, позволяющий находить оптимальные параметры движения в случае, когда аналитическое исследование модели затруднено.

 

1. Иванов А. А., Торохов С. Л. Управление в технических системах. М.: Форум. 2012.
2. Масина О.Н. Вопросы управления движением транспортных систем // Транспорт: наука, техника, управление. 2006. № 12. С. 10-12.
3. Шестаков А.А., Дружинина О.В., Масина О.Н. Оценка безопасности движения рельсовых экипажей на основе обобщенной технической устойчивости и устойчивости по Жуковскому // Транспорт: Наука, техника, управление. 2014. № 2. С. 3-8.
4. Масина О.Н., Дружинина О.В. Моделирование и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН. 2011.
5. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы анализа устойчивости динамических систем интеллектного управления. М.: ЛЕНАНД \\ URSS, 2015.
6. Masina O.N., Druzhinina O.V. On optimal control of dynamical systems described by differential inclusions // Proceedings of the VII International conference on optimization methods and applications «Optimization and application» (OPTIMA-2016) held in Petrovac, Montentgro, September 25 - October 2, 2016. Moscow: Dorodnicyn Computing Centre of FRC CSC RAS, 2016. P. 104-105.
7. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ. 2000.
8. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: Физматлит. 2005.
9. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Оптимальное управление. М.: МЦНМО. 2008.
10. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. 1959. № 2. С. 25-32.
11. Благодатских В.И. Достаточное условие оптимальности // Дифференциальные уравнения. 1973. T. 9. № 3. С. 416-422.
12. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.
13. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. 1985. T. 169. C. 119-158.
14. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. Сер. Мат., мех. 1967. № 3. С. 16-26.
15. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.
16. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука. 1986.
17. Панасюк А.И. О динамике множеств, определяемых дифференци­альными включениями // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27. № 5. С. 155-165.
18. Antosiewicz H.A., Cellina A. Continues selections and differential relations // J. Diff. Eq. 1975. V. 19. P. 386-398.
19. Sean S.W. Existents of solutions and asymptotic equilibrium of multivalued differential systems // J. Math. Anal. and Appl. 1987. V. 89. P. 648-663.
20. Байдосов В.А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 12-17.
21. Масина О.Н. О существовании решений дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 6. С. 845-847.
22. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН. 2009.
23. Балабаева Н.П. Устойчивость дифференциальных включений по медленным переменным // Наука и мир. 2015. Т. 1. № 3. С. 19-21.
24. Балабаева Н.П. Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения: Дисс. - канд. физ.-мат. наук. Самара. 2005.
25. Климов В.С. Теоремы об устойчивости по первому приближению для дифференциальных включений // Матем. заметки. 2004. Т. 76. № 4. С. 517-530.
26. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС, 2007.
27. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. Монография. М.: Изд-во РУДН. 2000.
28. Bacciotti A. Stability and stabilization of discontinuous systems and nonsmooth Lyapynov functions // Rapporto Interno. 1998. № 27. P. 1-21.
29. Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 18. № 4. С. 650-661.
30. Дружинина О.В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2007.
31. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. М.: Вильямс, 2006.