В.В. Белоусов1, О.В. Дружинина2

1,2Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН (Москва, Россия)

1vbelousov@frccsc.ru, 2odruzhinina@frccsc.ru

Постановка проблемы. Изучение стохастических моделей лазерных систем является одним из актуальных направлений научных исследований. Актуальность обусловлена необходимостью разработки и совершенствования математических моделей лазерных систем в различных областях науки и техники. Особую важность имеет развитие методов анализа вероятностной структуры помех и выяснение стохастических эффектов в многоуровневых лазерах. Среди значимых задач следует выделить анализ стохастических моделей с использованием метода нормальной аппроксимации.

Цель. Построить и исследовать стохастическую динамическую модель трехуровневого лазера с применением метода нормальной аппроксимации и алгоритма символьных вычислений.

Результаты. Выполнено построение стохастической динамической модели трехуровневого лазера на основе перехода от детерминированной модели трехуровневого лазера, заданной обобщенной системой Лотки – Вольтерры, к стохастической динамической модели на основе расширенного уравнения Ито, которое включает в себя винеровские и пуассоновские возмущения для учета таких особенностей лазерных процессов, как спонтанное излучение, флуктуации накачки и потери в резонаторе. Рассмотрено применение метода нормальной аппроксимации к исследованию построенной стохастической модели лазерной системы. С использованием разработанного алгоритма исследования многомерных стохастических систем в результате символьных вычислений получена система дифференциальных уравнений относительно математических ожиданий, дисперсий и ковариации рассматриваемых фазовых переменных. Проведено компьютерное моделирование и выполнен сравнительный анализ динамики детерминированной и стохастической моделей при двух наборах параметров пуассоновских шумов. Представлено описание стохастических эффектов и рассмотрены перспективы исследований.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при разработке алгоритмического и программного обеспечения для решения задач моделирования динамики процессов в многоуровневых лазерных системах, а также при решении задач оценивания шумовых характеристик лазерных систем и задач оптимальной фильтрации.

Белоусов В.В., Дружинина О.В. Построение и анализ стохастической динамической модели трехуровневого лазера с применением метода нормальной аппроксимации и алгоритма символьных вычислений // Электромагнитные волны и электронные системы. 2026. Т. 31. № 3. С. 75−87. DOI: https://doi.org/10.18127/j15604128-202603-09

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука. 1980. 752 с.
2. Мэйтлэнд А., Данн М. Введение в физику лазеров / Пер. с англ. В.А. Батанова, под ред. С.И. Анисимова. М.: Наука. 1978. 408 с.
3. Fox M. Quantum Optics: An Introduction. New York: Oxford University Press. 2006. 397 p.
4. Grynberg G., Aspect A. Fabre C. Introduction to Quantum Optics: From the Semi-Classical Approach to Qantized Light. New York: Cambridge University Press. 2010. 667 p.
5. Гладышев В.О., Шарандин Е.А. Математическая модель процессов генерации и усиления излучения в многокаскадном лазерном излучателе // Математическое моделирование. 2018. Т. 30. № 8. С. 51–66. DOI 10.31857/S023408790001174-5.
6. Aboites V., Bravo-Avilés J.F., García-López J.H., Jaimes-Reategui R., Huerta-Cuellar G. Interpretation and dynamics of the Lotka – Volterra model in the description of a three-level laser // Photonics. 2022. V. 9. № 1. P. 16. DOI 10.3390/photonics9010016.
7. Jiao Y., Zhang Yu, Bai J., Jiang W., He Y., Shen H., Jia S., Zhao J., Adams C.S. Quantum Lotka – Volterra dynamics. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://arxiv.org/pdf/2408.01726, дата обращения 17.09.2025.
8. Трубецков Д.И. Феномен математической модели Лотки – Вольтерры и сходных с ней // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. № 2. С. 69–88. DOI 10.18500/0869-6632-2011-19-2-69-88.
9. Хименко В.И. Временная когерентность и вероятностная структура интенсивности случайных оптических излучений // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1(50). С. 2–8.
10. Хименко В.И. Лазерные информационные системы: принципы построения статистической теории // Информационно-управляющие системы. 2015. № 5(78). С. 43–54. DOI 10.15217/issn1684-8853.2015.5.43.
11. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. Изд. 2-е. М.: Наука. 1990. 630 с.
12. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. Изд. 2-е. М.: Логос. 2003. 1000 с.
13. Mao X. Stochastic differential equations and applications. Cambridge: Woodhead Publ. 2008. 440 p.
14. Синицын И.Н., Синицын В.И. Аналитическое моделирование нормальных процессов в вольтерровских стохастических системах // Системы и средства информатики. 2018. Т. 28. №2. С. 4–19. DOI 10.14357/08696527180201.
15. Hening A., Nguyen D.H. Persistence in Stochastic Lotka – Volterra Food Chains with Intraspecific Competition // Bulletin of Mathematical Biology. 2018. V. 80. № 10. P. 2527–2560. DOI 10.1007/s11538-018-0468-5.
16. Дружинина О.В., Белоусов В.В. Построение алгоритма исследования многомерных стохастических систем Лотки – Вольтерры с применением метода нормальной аппроксимации // Управление большими системами. 2025. № 118. С. 23–41. DOI 10.25728/ubs.2025.118.2.
17. Белоусов В.В., Дружинина О.В. Построение и анализ стохастических моделей организационно-технических систем с использованием метода нормальной аппроксимации // Наукоемкие технологии. 2025. Т. 26. № 6. С. 38−47. DOI 10.18127/ j19998465-202506-04.
18. Королев В.Ю., Корчагин А.Ю., Зейфман А.И. Сходимость неоднородных случайных блужданий, порожденных обобщенными процессами Кокса, к обобщенным дисперсионным гамма-процессам Леви // Доклады Академии наук. 2015. Т. 463. № 1. С. 18. DOI 10.7868/S0869565215190068.