И.В. Демичев1

1 Военный университет радиоэлектроники (г. Череповец, Россия)

1 vure@mil.ru

Постановка проблемы. Применение алгебры кватернионов при решении ряда электродинамических задач позволяет снять определенные ограничения векторного исчисления. Вместе с тем реализация широко применяемых при обработке сигналов операций, а также оптимальных алгоритмов их вычисления (преобразование Фурье, свертка, корреляция и т.п.) не позволяет получить адекватный результат в силу некоммутативности умножения кватернионов, что требует поиска новых подходов при реализации математических вычислений.

Цель. Предложить научно-обоснованные подходы вычисления свертки и корреляции кватернионных функций.

Результаты. Рассмотрены особенности вычисления прямого и обратного преобразований Фурье кватернионных функций на основе разложения Кэли-Диксона, дано понятие двустороннего преобразования Фурье. Представлена формулировка теоремы о свертке для кватернионных функций, показывающая необходимость выполнения дополнительных преобразований входных и выходных данных при вычислении свертки и корреляции в частотной области. Получены выражения для вычисления свертки и корреляции кватернионных функций. Рассмотрены особенности вычисления свертки и корреляции кватернионных функций для дискретного времени на основе широко применяемых алгоритмов комплексного дискретного преобразования Фурье. Проведена оценка адекватности полученных результатов вычисления свертки и корреляции путем имитационного моделирования и сопоставления вычислений во временной и частотной областях.

Практическая значимость. Предложенный подход к вычислению свертки и корреляции кватернионных функций не только расширяет возможности гиперкомплексной обработки электромагнитных полей, но и позволяет ее реализовать на основе известных оптимизированных алгоритмов вычисления преобразования Фурье, что открывает новые возможности в области радиотехники.

Демичев И.В. Методы вычисления свертки и корреляции кватернионных функций // Электромагнитные волны и электронные системы. 2024. Т. 29. № 6. С. 46−53. DOI: https://doi.org/10.18127/j15604128-202406-06

1. Ell T.A., Bihan N.L., Sangwine S.J. Quaternion Fourier Transforms for Signal and Image Processing. John Wiley & Sons, Inc. 2014. 152 p. DOI 10.1002/9781118930908.
2. Hitzer E., Sangwine S.J. Quaternion and Clifford Fourier Transforms and Wavelets. Birkenhäuser, Springer. 2013. 338 p.
3. Pei S.-C., Ding J.-J., Chang J.-H. Efficient implementation of quaternion Fourier transform, convolution, and correlation by 2-D complex FFT // IEEE Transactions on Signal Processing. 2001. V. 49. № 11. P. 2783–2797. DOI 10.1109/78.960426.
4. Said S., Le Bihan N., Sangwine S.J. Fast Complexified Quaternion Fourier Transform // IEEE Transactions on Signal Processing. 2008. V. 56. № 4. P. 1522–1531. DOI 10.1109/TSP.2007.910477.
5. Sangwine S., Ell T.A. Colour image filters based on hypercomplex convolution // IEEE Proceedings – Vision Image and Signal Processing. 2000. V. 147. № 2. P. 89–93. DOI 10.1049/ip-vis:20000211.
6. Демичев И.В., Шмаков Н.П., Иванов А.В. Пространственно-поляризационная обработка радиосигналов в гиперкомплексном пространстве // Наукоемкие технологии. 2018. Т. 19. № 10. С. 25–29. DOI 10.18127/j19998465-201810-05.
7. Демичев И.В., Толстов А.П., Огнев В.А. Модель распространения электромагнитной волны в ионосфере на основе алгебры кватернионов // Научная мысль. 2019. Т. 8. № 2(32). С. 84–88.
8. Демичев И.В., Огнев В.А. Метод измерения пространственно-поляризационных параметров на основе алгебры кватернионов при регистрации ионосферных радиоволн высокочастотного диапазона // Электромагнитные волны и электронные системы. 2019. Т. 24. № 8. С. 15–22. DOI 10.18127/j15604128-201908-02.
9. Патент на изобретение RUS2720588 от 12.05.2020. Способ и устройство для пространственной селекции электромагнитных волн с последующей поляризационной обработкой сигналов / Демичев И.В., Колесников Р.В., Иванов А.В., Лаптев И.В.
10. Шайдулин З.Ф., Демичев И.В., Лукичёв Д.А., Огнев В.А. Восстановление траектории распространения радиоволны в трехмерно-неоднородной анизотропной ионосфере с учетом пространственно-поляризационных параметров // Электромагнитные волны и электронные системы. 2022. Т. 27. № 2. С. 12−18. DOI 10.18127/j15604128-202202-02.
11. Демичев И.В. Волновые уравнения для электромагнитного поля на основе алгебры кватернионов // Электромагнитные волны и электронные системы. 2023. Т. 28. № 3. С. 5−10. DOI 10.18127/j15604128-202303-01.