А.А. Жильников – к.т.н., преподаватель, кафедра тылового обеспечения уголовно-исполнительной системы, Академия ФСИН России (г. Рязань)

E-mail: ark9876@mail.ru

Т.А. Жильников – к.т.н., доцент, начальник кафедры математики и информационных технологий управления, Академия ФСИН России (г. Рязань)

E-mail: quadrus02@mail.ru

В.И. Жулёв – д.т.н., профессор, зав. кафедрой информационно-измерительной и биомедицинской техники,  Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина;  заслуженный работник высшей школы РФ, лауреат премии Рязанской области по науке и технике  и серебряной медали им. акад. В.Ф. Уткина

E-mail: zhulev.v.i@rsreu.ru

Постановка проблемы: Основная задача в компьютерной томографии сводится к поиску оценки неизвестной функции, подвергнутой изначально в ходе регистрации интегрированию. Методика поиска определена математическим аппаратом частного случая обратного преобразования Радона и представляет собой решение основного интегрального уравнения первого рода. Одна из проблем практической реализации томографии заключается в том, что предложенное Радоном аналитическое решение применимо только к тем неизвестным функциям, которые являются действительными и удовлетворяют условиям регулярности. Так, например, удовлетворяют требованию определения функции на бесконечности, которое на практике технически не реализуемо, поскольку «механизмы» прямого преобразования и первичные интеграторы в томографии имеют конечные размеры. В результате функция бесконечной протяженности заменяется функцией конечной протяженности и ищется решение для ее финитного определения. Произведенная «замена» сама по себе является проблемой, требующей решения. Кроме того, она порождает следующую проблему – даже изначально гладкие функции, достаточно быстро убывающие на бесконечности, в финитном определении, как правило, на границах претерпевают неустранимые разрывы первого рода и в конечной реализации перестают быть гладкими.

Цель – обоснование возможности использования финитного преобразования Радона в конечных пределах для практической реализации метода компьютерной томографии.

Результаты. Для полученной оценки неизвестной функции проанализирована априорная точность, заявленная представленным в теории решением. Установлено, что она во многом зависит от соблюдения требуемых условий регулярности исходной функции. Выявлена проблема соблюдения указанных условий в ходе технической реализации вследствие того, что на практике, в силу конструктивных особенностей или вынужденно (в случае вихревых магнитных полей), приходится иметь дело с конечными размерами интегрирующих первичных преобразователей. В работе исследована часто возникающая на практике ситуация, когда в условиях конечных размеров интегрирующих первичных преобразователей использование классических механизмов реконструкции приводит к появлению существенных искажений в оценке неизвестной функции. Предложены механизмы финитного преобразования Радона, функционирование которых смоделировано на примере неблагоприятного для классической томографической реконструкции случая описания кусочнопостоянными (прямоугольными) функциями проекционных данных. Выявлены причины систематических искажений оценки, которые заключаются в устранении существующей постоянной составляющей в финитных реализациях радоновского образа в ходе процедуры фильтрации. В качестве иллюстрации приведены изображения коэффициентов Фурье финитного преобразования на полупериоде со скважностью, стремящейся к единице, как для финитного преобразования, так и после предварительной высокочастотной фильтрации, а также результаты реконструкции методом предварительной высокочастотной фильтрации и «обратного проецирования» результата фильтрации для разной ширины спектра оценки неизвестной функции.

Практическая значимость. Представлена возможность использования результатов для определения закономерности влияния отклонений от требований условий регулярности на оценку неизвестной функции, а также для подхода к устранению причины искажений, предполагающего разложение в ряд Фурье на полупериоде.

1. Троицкий И.Н. Компьютерная томография. М.: Знание. 1988. 64 c.  
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука. 1987. 160 с.  
3. Жильников А.А., Жильников Т.А., Жулев В.И. Методические погрешности способа неинвазивного магнитоиндукционного исследования // Биомедицинская радиоэлектроника. 2017. № 7. С. 30–36.  
4. Жильников А.А., Жильников Т.А., Жулев В.И. Квазистационарная модель описания магнитного поля при реализации способа магнитоиндукционного исследования ферромагнитных тел внутри объектов // Инженерная физика. 2017. № 9. С. 33–39.  
5. Неразрушающий контроль: Справочник. В 7 т. / Под общ. ред. В.В. Клюева и др. Т. 6. М.: Машиностроение. 2004. 832 с.  
6. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Физматлит. 1984. 544 с.