В.М. Аушев1, В.О. Милицин2

1, 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, Россия)
1 aushevvm@gmail.com, 2 vmilitsin@t1.ru

Постановка проблемы. Одним из наиболее эффективных методов решения задач дифракции на объектах, содержащих диэлектрики и идеальные проводники, является метод интегральных уравнений. При многомасштабных геометриях с сильно неравномерными расчетными сетками возникают трудности со сходимостью итерационных методов.

Цель. Разработать эффективный подход к решению многомасштабных задач электродинамики на основе метода моментов и многоуровневого быстрого метода мультиполей (MLFMM), а также создать новый предобуславливатель, сокращающий число итераций при решении СЛАУ.

Результаты. Предложен и реализован программный комплекс, включающий в себя MLFMM и геометрически-адаптивный предобуславливатель. Проведена верификация на задаче рассеяния на сфере, показана сеточная сходимость и совпадение с аналитическим решением. На задачах со сложной геометрией (самолет, дрон) продемонстрировано значительное ускорение вычислений по сравнению с коммерческим программным обеспечением при сопоставимом уровне точности. Выполнены расчеты для объектов метровых размеров с десятками миллионов неизвестных на частотах до 18 ГГц.

Практическая значимость. Предложенный метод позволяет эффективно моделировать рассеяние электромагнитных волн на больших и сложных объектах, включая конструкции с радиопоглощающими материалами, что делает его востребованным инструментом для решения прикладных задач радиолокации, аэрокосмической техники и проектирования малозаметных объектов.

Аушев В.М., Милицин В.О. Эффективное решение многомасштабных задач дифракции для диэлектриков и идеальных проводников методом моментов // Успехи современной радиоэлектроники. 2026. T. 80. № 4. С. 72–87. DOI: https://doi.org/10.18127/ j20700784-202604-08

1. Knott E.F., Shaeffer J.F.,Tuley M.T. Radar cross section. Raleigh: SciTech Publishing. 2004.
2. Anand S. Planar polarization rotation reflective surface for X-band RCS reduction in microstrip patch antenna // Adv. Elect. Eng. Electron. Energy. 2023. 4. 100164.
3. Junior M. A. D. A. Influence of the permittivity on carbon fiber particulates applied in radiation absorbing materials // GJRE. 2017. 17. N 8. 7–14.
4. Дементьев А.Н., Клюев Д.С., Неганов В.А., Соколова Ю.В. Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения в теории зеркальных и полосковых антенн. М.: Радиотехника. 2015.
5. Гринев А.Ю., Гиголо А.И. Математические основы и методы решения задач электродинамики. М.: Радиотехника. 2015.
6. Gumerov N.A., Duraiswami R. Fast multipole methods for the Helmholtz equation in three dimensions. Oxford: Elsevier. 2004.
7. Jin J.-M. Theory and computation of electromagnetic fields. Hoboken: Wiley. 2010.
8. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир. 1964.
9. Chen K.-M. A mathematical formulation of the equivalence principle // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. 1989. 37. N 10. 1576–1581.
10. Kolundžija B.M., Djordjević A.R. Electromagnetic modeling of composite metallic and dielectric structures. London: Artech House, 2002.
11. Poggio A.J., Miller E.K. Integral equation solutions of three-dimensional scattering problems // Computer Techniques for Electromagnetics (R. Mittra Ed.). 159–264. New York: Pergamon. 1987.
12. Medgyesi-Mitschang L.N., Putnam J.M., Gedera M.B. Generalized method of moments for three-dimensional penetrable scatterers // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. 11. 1383–1398. 10.1364/JOSAA.11.001383
13. Ergül Ö., Gürel L. The multilevel fast multipole algorithm (MLFMA) for solving large‐scale computational electromagnetics problems. Chichester: Wiley-IEEE. 2014. 10.1002/9781118844977
14. Ergül Ö. New trends in computational electromagnetics. London: SciTech Publ. 2019. 10.1049/SBEW533E
15. Ylä-Oijala P., Taskinen M., Järvenpää S. Surface integral equation formulations for solving electromagnetic scattering problems with iterative methods // Radio Science. 2005. 40. N 6. 1–19.
16. Sheng X.Q., Jin J.-M., Song J., Chew W.C., Lu C.-C. Solution of combined-field integral equation using multilevel fast multipole algorithm for scattering by homogeneous bodies // IEEE Trans. Antennas Propag. 1998. 46. N 11. 1718–1726.
17. Andriulli F.P., Tabacco A., Vecchi G. Solving the EFIE at low frequencies with a conditioning that grows only logarithmically with the number of unknowns // IEEE Trans. Antennas Propag. 2010. 58. N 5. 1614–1624. 10.1109/TAP.2010.2044325
18. Adrian S.B., Dély A., Consoli D., Merlini A., Andriulli F.P. Electromagnetic integral equations: insights in conditioning and preconditioning // IEEE Open Journal Antennas Propag. 2021. 2. 1143–1174.
19. Cools K., Andriulli F.P., De Zutter D., Michielssen E. Accurate and conforming mixed discretization of the MFIE // IEEE Antennas Wireless Propag. Letters. 2011. 10. 528–531.
20. Ylä-Oijala P., Kiminki S.P., Cools K., Andriulli F.P., Järvenpää S. Mixed discretization schemes for electromagnetic surface integral equations // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. 2012. 25. 525–540.
21. Gürel L., Ergül Ö. Comparisons of FMM Implementations Employing Different Formulations and Iterative Solvers // IEEE Antennas Propag. Society International Symposium. 2003. 1. 19–22.
22. Ylä-Oijala P., Taskinen M., Järvenpää S. Analysis of surface integral equations in electromagnetic scattering and radiation problems // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. 32. N 3. 196–209.
23. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. 1987.
24. Ylä-Oijala P.,Taskinen M., Sarvas J. Surface Integral Equation Method for General Composite Metallic and Dielectric Structures with Junctions // Progress In Electromagnetics Research. 2005. 52. 81–108.
25. Ylä-Oijala P., Taskinen M. Calculation of CFIE impedance matrix elements with RWG and n×RWG functions // IEEE Trans. Antennas Propag. 2003. 51. N 8. 1837–1846.
26. Саад Ю. Итерационные методы для разреженных линейных систем. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2013.
27. Cheng H., Crutchfield W.Y., Gimbutas Z., et al. A wideband fast multipole method for the helmholtz equation in three dimensions // Jour. Comp. Ph. 2006. 216. N 1. 300–325.
28. Gumerov A., Duraiswami R. Recursions for the computation of multipole translation and rotation coefficients for the 3-D Helmholtz equation // SIAM J. Sci. Comput. 2003. 25. N 4. 1344–1381.
29. Rokhlin V. Diagonal forms of translation operators for the Helmholtz equation in three dimensions // Applied and Computational Harmonic Analysis. 1993. 1. N 1. 82–93.
30. Carpentieri B., Duff I., Giraud L. Sparse pattern selection strategies for robust Frobenius‐norm minimization preconditioners in electromagnetism // Num. Linear Algebra Appl. 2000. 7 N 7. 667–685.
31. Gilbert J.R., Tarjan R.E. The analysis of a nested dissection algorithm // Numer. Math. 1986. 50. 377–404.
32. Balanis C.A. Modern antenna handbook. New York: Wiley. 2007. 10.1002/9780470294154
33. Mie G. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen // Annalen der Physik. 1908. 330. N 3. 377–445.
34. Harrington R.F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. New York: McGraw-Hill, 1961.
35. Ergül Ö. Solutions of large-scale electromagnetics problems involving dielectric objects with the parallel multilevel fast multipole algorithm // J. Opt. Soc. Am. A. 2013. 30. N 3. 509–517.