В.М. Советов1

1 ФГБУ16 ЦНИИИ МО РФ (Москва, Россия)

Постановка проблемы. В современных системах связи, как правило, используют векторные сигналы и технологии «много входов – много выходов» (Multiple Input Multiple Output – MIMO). Данные технологии позволяют существенно повысить пропускную способность каналов связи. В качестве математической модели MIMO канала обычно используют многомерные ортогональные матрицы, на вход которых поступает информационный вектор импульсов. Дискретное преобразование Фурье многомерных сигналов записывают в виде многократной суммы отсчетов по отдельной переменной, помноженных на соответствующую дискретную экспоненту. В данном представлении применяются одинаковая мнимая единица, и, несмотря на многомерность сигналов, они рассматриваются на одной комплексной плоскости.

Цель. Представить методику дискретного преобразования Фурье четырехмерного вектора импульсов, в качестве ядра которого используется кватернион в матричном представлении.

Результаты. Экспоненциальная функция от кватерниона представлена в виде фундаментальной матрицы кватернионной несущей с дискретными отсчетами по времени и частоте. С помощью дискретных фундаментальных матриц кватернионной несущей найдены выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье четырехмерного вектора импульсов. Получены соотношения для вычисления спектров элементов вектора с одинаковым и разным циклическим сдвигом по времени и частоте. Доказано равенство Парсеваля кватернионного дискретного преобразования Фурье. Представлены расчеты спектров вектора различных импульсов: прямоугольник, пилообразный, синус, косинус с различными сдвигами во времени. Показана траектория движения значений скаляра кватерниона во времени в 3D при различных циклических сдвигах и проекции траектории на четыре ортогональные плоскости.

Практическая значимость. Полученные выражения упрощают вычисление спектров для 4D-вектора из различных импульсов при различном сдвиге их во времени и частоте по сравнению с вычислением ДПФ одиночных импульсов и различных их комбинаций при матричном умножении.

Советов В.М. Кватернионное дискретное преобразование Фурье вектора импульсов // Успехи современной радиоэлектроники. 2022. T. 76. № 10. С. 46–57. DOI: https://doi.org/10.18127/j20700784-202210-05

1. Kuhn V. Wireless Communications over MIMO Channels – Applications to CDMA and Multiple Antenna. John Wiley & Sons Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19 8SQ. England. 2006.
2. I Emre Telatar Capacity of Multi-antenna Gaussian Channels // Emerging Telecommunications Technologies. 1999. V. 10. № 6. P. 569–709.
3. Mawardi Bahri Discrete Quaternion Fourier Transform and Properties // Int. Journal of Math. Analysis. 2013. V. 7. № 25. P. 1207–1215.
4. Salem Said, Nicolas Le Bihan, Stephen J. Sangwine Fast complexified quaternion Fourier transform. February 2. 2008. arXiv: math/0603578v1 [math.NA]. 24 Mar 2006.
5. Фурман Я.А. Комплексные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов. М.: Физматлит. 2004.
6. João Pedro Morais, Svetlin Georgiev, Wolfgang Sprößig Real Quaternionic Calculus Handbook. Springer Basel Heidelberg New York Dordrecht London. 2014.
7. Советов В.М. Кватернионный ряд Фурье периодической последовательности импульсов // Радиотехника. 2021. № 3. С. 5–15.
8. Советов В.М. Кватернионное преобразование Фурье вектора импульсов // Радиотехника. 2021. № 2. С. 83–94.
9. Ричард Лайонс Цифровая обработка сигналов: Изд. 2-е. Пер. с англ. М.: ООО «Бином Пресс». 2006.
10. Советов В.М. Методика получения прямого кватернионного преобразования Лапласа вектора импульсов // Электромагнитные волны и электронные системы. 2021. Т. 26. №4. С. 25–35.
11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. В 3-х томах. Т. 1. Элементарные функции. Изд. 2-е, исправ. М.: Физматлит. 2002.
12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е. М.: Гос. изд-во физматлит. 1963.