Математические основы и методы решения задач электродинамики

Последовательно рассмотрен математический аппарат, необходимый для изучения электродинамики. Подробно исследованы основные аналитические и численные методы решения задач электродинамики, проведен обзор программных и алгоритмических средств решения прикладных задач электродинамики.

Для студентов, обучающихся по направлениям «Радиотехника» и «Радиоэлектронные системы и комплексы». Может быть полезно аспирантам, инженерам и сотрудникам научно-исследовательских институтов при повышении квалификации.

Оглавление

Предисловие

Раздел I. Математические основы электродинамики

Глава 1. Элементы векторного и матричного анализа

1.1. Векторы и операции с ними
1.1.1.Основные понятия
1.1.2. Линейные операции с векторами
1.1.3. Декартова система координат
1.1.4. Операции с векторами, заданными своими проекциями
1.2. Скалярное произведение векторов и его свойства
1.3. Векторное произведение векторов и его свойства
1.4. Смешанное произведение векторов и его свойства
1.5. Матричный анализ
1.5.1. Основные понятия
1.5.2. Операции с матрицами
1.5.3. Система линейных уравнений
Глава 2. Элементы теории поля
2.1. Основные понятия
2.2. Скалярное поле
2.2.1. Поверхности и линии уровня
2.2.2. Производная по направлению
2.2.3. Градиент скалярного поля
2.3. Векторное поле
2.3.1. Векторные линии поля
2.3.2. Поток векторного поля
2.3.3. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса
2.3.4. Циркуляция векторного поля
2.3.5. Ротор векторного поля. Формула Стокса
2.4. Векторные дифференциальные операции
2.4.1. Оператор Гамильтона
2.4.2. Векторные тождества
2.5. Соленоидальное и потенциальное векторные поля
2.6. Криволинейные системы координат
2.6.1. Основные понятия
2.6.2. Цилиндрические координаты
2.6.3. Сферические координаты
2.7. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Формулы Грина
2.8. Система уравнений электродинамики (уравнения Максвелла)
ГЛАВА 3. Дифференциальные уравнения с частными производными и граничные задачи электродинамики
3.1. Уравнения Пуассона и Лапласа
3.1.1. Определение дельта-функции
3.1.2. Определение функции Грина уравнения Пуассона
3.1.3. Интегрирование (решение) уравнения Пуассона
3.1.4. Краевые (граничные) задачи для уравнения Лапласа
3.2. Уравнение Гельмгольца
3.2.1. Определение функции Грина уравнения Гельмгольца
3.2.2. Интегрирование (решение) неоднородного уравнения Гельмгольца
3.2.3. Спектральное представление функции Грина
3.3. Волновое уравнения Даламбера
3.4. Некоторые сведения из функционального анализа
3.4.1. Операторы
3.4.2. Ортогональные системы функций и ортогональные ряды
3.4.3. Скалярное одномерное дифференциальное уравнение Штурма–Лиувилля
3.4.4. Спектральное представление функции Грина для ограниченной области решения
Глава 4. Волновые процессы и их математическое описание
4.1. Волновые процессы при произвольной временной зависимости
4.1.1. Вывод уравнений Даламбера
4.1.2. Плоская электромагнитная волна при произвольной временной зависимости
4.1.3. Сферическая электромагнитная волна при произвольной временной зависимости
4.2. Волновые процессы при гармонической временной зависимости
4.2.1. Метод комплексных амплитуд
4.2.2. Система уравнений электродинамики и волновые уравнения для гармонической временной зависимости в комплексной форме
4.2.3. Простейшие решения волнового уравнения для гармонической временной зависимости
4.2.4. Средние значения величин, изменяющиеся по гармоническому закону
4.3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
Глава 5. Двумерный анализ Фурье пространственных электромагнитных полей
5.1. Двумерное пространственное преобразование Фурье и его свойства
5.1.1. Основные понятия
5.1.2. Угловой спектр плоских волн
5.2. Аналогия между временным и пространственным преобразованиями Фурье
5.2.1. Спектр монохроматической волны, ограниченной во времени
5.2.2. Волна с ограниченным в пространстве волновым фронтом

Раздел II. Методы решения задач электродинамики

Глава 6. Метод разделения переменных для координатных граничных задач
6.1. Двумерное однородное уравнение Гельмгольца в декартовых координатах
6.1.1. Общее решение
6.1.2. Краевые задачи
6.2. Двумерное уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах
6.2.1. Общее решение
6.2.2. Краевые задачи
6.3. Метод собственных функций для решения неоднородного уравнения Гельмгольца
6.3.1. Решение одномерного уравнения Гельмгольца
6.3.2. Полнота и сходимость решения
Глава 7. Проекционный метод решения электродинамических задач
7.1. Метод моментов
7.2. Выбор базисных и проекционных функций
7.3. Решение интегральных уравнений методом моментов
7.4. Пример решения интегральных уравнений методом моментов
Глава 8. Метод конечных разностей
8.1. Разностная форма уравнений
8.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений Лапласа и Пуассона
8.3. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов
8.4. Распространение электромагнитной волны и численная дисперсия
Глава 9. Метод конечных разностей во временной области
9.1. Одномерный метод конечных разностей во временной области
9.1.1. Смещённые сетки (сетки Yee K. S.)
9.1.2. Пространственно-временное распространение поля
9.2. Пространственный шаг Δx и явление численной дисперсии
9.3. Временной шаг Δt и стабильность решения
9.4. Источники возбуждения
9.4.1. Временная форма сигнала
9.4.2. Возбуждение мод в линиях передачи и плоской волны
9.5. Граничные условия для открытой области
9.5.1. Аналитические ABC Mypa (Mur)
9.5.2. Материальные ABC
Глава 10. Одномерный метод конечных элементов
10.1. Метод взвешенных невязок
10.2. Линейные одномерные интерполяционные полиномы и дискретизация области решения
10.2.1. Одномерный элемент
10.2.2. Дискретизация области решения
10.3. Процедура объединения элементов
10.4. Численный пример
10.5. Распространение электромагнитной волны и численная дисперсия
Глава 11. Универсальные программные и алгоритмические средства решения прикладных задач электродинамики
11.1. Пакеты программ для численного анализа методом моментов и гибридным методом
11.2. Пакет программ для численного моделирования методом конечных разностей во временной области
11.3. Пакет программ для численного моделирования методом конечных элементов в частотной области
11.4. Программа двумерного численного моделирования «Максвелл +»
11.5. Основные сведения о среде программирования MATLAB
Приложения
П1. Два определения дивергенции векторного поля
П2. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
П3. Решение однородного уравнения Гельмгольца в сферической системе координат
П4. Ортонормированность собственных функций
П5. Определение распределения тока по электрическому вибратору
П5.1. Интегральные уравнения электрического вибратора
П5.2. Интегральные уравнения тонкого электрического вибратора
П5.3. Решение уравнения Галлена
П5.4. Решение уравнения Поклингтона

Литература