P.G. Danilaev, E.R. Faithrachmanov

The one dimensional distributed transducer of temperature was engineered by Evdokimov Yu.K., he suggested its mathematical model too. The problem of the mathematical processing of measurement-s results, obtained with one-dimensional distributed sensor, is considered in the paper. The mathematical model is the coefficient inverse problem for parabolic type equation with one space variable. It involves three unknown varying coefficients depending on space variable only. Unknown temperature definition can be determined with calculated one of the equation coefficients, the per meter run of resistance, using the sensitivity equation. The problem statement includes elements, which can be explained as the over-determined problem assumed data. The main algorithm-s idea is to use all data, which can be received with measurements. So the given approach can be named as the descriptive regularization. The solution algorithm consists of two steps. The first step is to solve the problem of the voltage distribution approximation using over-determined data. Fredholm integral equation of the first type is used for that. The coefficient inverse problem is solved then. Its statement is based on the well known procedure of observation results processing, allowing reducing the problem to the solving of algebraic equations system. It can be named as the simply "engineering" approach. The traditional method of optimization with regularization was used before to solve the problem. Results of calculations made with the present algorithm are compared with that solution results. The conclusion is made: the using of all over-determined data offers to receive the solution, which is more resistant to error value of initial data measurements

1. Chavent G. Une methode de resolution de probleme inverse dans les equations aux derivees partielles // Bulletin de l-Academie Polonaise des Sciences, Serie des Sciences Techniques. 1970. V. XYIII, No. 8. P. 99 -105.
2. Chavent G. Analyse fonctionelle et identification de coefficients rèpartis dans les èquations aux dèrivèes partielles // These d?État, Facultè  des  Sciences  de  Paris. 1971.
3. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of parameters in distributed parameter systems by regularization // SIAM J. Control and Optimization. 1985. V.23. No. 2. P. 217 -241.
4. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of spatially varying parameters in distributed parameters systems by discrete regularization // J. of Math. Analysis and Applications. 1986. V. 119. P. 128-152.
5. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропроводности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: Изд-во Казанского. ун-та. 1978. 167 с.
6. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. № 5. С. 1108 -1111.
7. Карслоу К.С. Теория теплопроводности. М. - Л.: ОГИЗ. 1947. 288 с.
8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая школа. 1978. 328 с.
9. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра. 1974. 232 c.
10. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2005. 368 с.
11. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды / Дисс. - докт. физ.-мат. наук. Казань: КГТУ (КАИ). 1995.
12. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды и континуум-измерения: принципы, топология, алгоритмы // Нелинейный мир. № 10 -11. Т. 5. 2007. С. 639 - 656.
13. Evdokimov, Yu.K., Martemianov, S.A. Continuously distributed sensors for steady-state temperature profile measurements: main principles and numerical algorithm // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2004. V. 47. P. 329-340.
14. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды: принципы построения, модели, алгоритмы // Сб. избранных работ по грантам в области информатики, радиоэлектроники и систем управления. СПб.: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет. 1994. С. 82-91.
15. Evdokimov, Yu.K., Vyaselev M.R. Theory of one-dimensional and two-dimensional distributed sensors for measuring of spatial characteristics of thermophysical and hydrodynamical fields // Joint. Proceeding of Aeronautics & Austronautics (JPAA). Ed. Zhu. Jianying, G.L.Degtyarev. Nanjing, China: China Aviation Industry Press. 1993. P. 157-160.
16. Евдокимов Ю.К. Распределенный электрохимический датчик: основы и применение в измерении потока // Электрохимия. РАН. 1993. Т. 29. № 1. С. 13 -16.
17. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 286 с.
18. Клибанов М.В., Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 3. С. 528 -532.
19. Электрическое сопротивление // В кн. Физический энциклопедический словарь. Т. 5. М.: Изд-во «Советская энциклопедия». 1966. С.449 -450.
20. Файзрахманов Э.Р. Исследование приближенных решений интегрального уравнения Фредгольма I-го рода методом регуляризации / XVI Туполевские чтения: Международная молодежная научная  конференция, 28 - 29 мая 2008 г. Материалы конф. II. Казань: Изд-во Казанского гос. техн. ун-та. 2008. С.155 -157.
21. Демидович В.Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации // Вычислительные методы и программирование. Вып. VIII. М.: Изд-во Московского ун-та. 1967. С.96 -103.
22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 285 с.
23. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990. 230 с.
24. Щеголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Наука. 1969. 344 с.
25. Danilaev P.G. Coefficient inverse problems for parabolic type equations and their application //VSP publishers. 2001. 115 p.
26. Файзрахманов Э.Р. Численное исследование коэффициентной устойчивости решения краевой задачи для уравнения параболического типа // Материалы Всеросс. семинара, посвященного столетию М.Ш. Аминова, 4 -5 февраля 2008 г. Казань: Изд-во Казанского гос. техн. ун-та. 2008. С.76 -77.
27. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение. 1988. 279 с.
28. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 286 с.