И.А. Туренова1, М.К. Кирячек2, С.П. Моисеева3, Е.В. Панкратова4

1–3 Национальный исследовательский Томский государственный университет (г. Томск, Россия)
4 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской Академии наук (Москва, Россия)
1 irenaturena@yandex.ru, 2 radkovaaa@yandex.ru, 3 smoiseeva@mail.ru, 4 pankratova@ipu.ru

Постановка проблемы. В последние десятилетия с развитием систем коммуникаций, возникновением сложных и многоуровневых информационно-вычислительных систем, созданием автоматизированных систем управления практически во всех областях промышленности и жизнедеятельности интерес к теории массового обслуживания как к математическому аппарату, позволяющему исследовать случайные процессы в различных системах, существенно вырос. Обеспечение высокой производительности и надежности веб-серверов становится критически важным, поскольку они играют ключевую роль в предоставлении доступа к содержимому веб-сайтов, обработке пользовательских запросов и взаимодействии с базами данных. В процессе обращения к интернет-ресурсу (например, просмотр видеоконтента) каждый пользователь может порекомендовать контент своим знакомым, что вызывает эффект «неявной рекламы». Таким образом, общая интенсивность обращения к ресурсу зависит от числа пользователей, находящихся на сайте в данный момент, при этом время пребывания (например, просмотр видео) каждого пользователя на сайте является случайным. Одна из характеристик востребованности контента – количество просмотренных страниц за определенный период времени, что приводит к проблеме исследования потоков событий, которые не обладают свойствами стационарности и отсутствия последействия. Учет указанных особенностей обосновывает актуальность построения вероятностных моделей и их исследования, что позволит прогнозировать загрузку контента и оптимизировать расходы.

Цель. Провести построение и исследование математической модели посещаемости интернет-ресурса в виде системы с неограниченным числом серверов с переменной интенсивностью входящего потока и повторным обслуживанием заявок.

Результаты. Исследован марковский процесс, описывающий функционирование системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом обслуживающих приборов, переменной интенсивностью входящего потока и обратной связью. Отмечено, что отличительной особенностью является анализ системы в нестационарном режиме. Получены одномерные производящие функции, характеризующие число пользователей, находящихся на сайте, а также потоки повторных обращений к контенту. Установлено, что наличие данных функций позволяет находить основные числовые характеристики соответствующих случайных процессов, такие как математические ожидания, дисперсии и другие вероятностные характеристики, а это существенно расширяет возможности анализа поведения системы во времени.

Практическая значимость. Предложенная модель позволяет количественно и качественно описать динамику посещаемости ресурсов интернета, делать прогнозы их будущей посещаемости, объясняет механизм роста такой посещаемости, что позволит оценить целесообразность инвестирования в какой-либо интернет-ресурс. Результаты исследования также могут служить основой для оценки вероятностно-временных характеристик проектируемых информационно-телекоммуникационных сетей и распределённых компьютерных систем, в которых предусматривается наличие процессов повторной или дополнительной обработки пакетов и запросов.

Туренова И.А., Кирячек М.К., Моисеева С.П, Панкратова Е.В. Математическая модель числа обращений к интернет-ресурсу в виде бесконечнолинейной СМО с повторными обращениями и переменной интенсивностью // Динамика сложных систем. 2026. Т. 20. № 4. С. 63−73. DOI: 10.18127/j19997493-202604-05

1. Bekavac I., Praničević D.G. Web Analytics Tools and Web Metrics Tools: an Overview and Comparative Analysis // Croatian
   Operational Research Review 6. 2015. № 2. P. 373–386.
2. Win L. Application of Queuing Theory for Internet Server // Annual University Journal on Innovative Research and Products. 2019. V. 2. Iss. 1. P. 508–515.
3. Попова Т.М., Слободчиков В.А. Моделирование работы web-сервера на основе системы массового обслуживания // Инженерный вестник Дона. 2024. № 8. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n8y2024/9438/
4. Do T.V., Krieger U.R., Chakka R. Performance modeling of an Apache Web server with a dynamic pool of service processes // Te­lecommun Syst. 2008. № 39. P. 117–129.
5. Chang W.K., Hon S.K. Evaluating the performance of a web site via queuing theory // European Conference on Software Quality. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2002. P. 63–72.
6. Moiseeva S., Polin E., Moiseev A., Sztrik Ja. Performance modeling of cloud systems by an infinite-server queue operating in rarely changing random environment // Future Internet. 2025. V. 17. № 10(462). P. 1–14.
7. Jianhua C., Nyberg C. On overload control through queue length for web servers // Sixteenth Nordic Teletraffic Seminar NTS 16: Helsinki University of Technology, Espoo August 21-23, 2002: proceedings (Report/Helsinki University of Technology, Networ­king Laboratory). Helsinki University of Technology, Networking Laboratory. 2002. P. 1–10.
8. Mei R., Hariharan R, Reeser P. Web server performance modeling // Telecommunication Systems. 2001. V. 16. № 3, 4. P. 361–378.
9. Wells L., Christensen S., Kristensen L.M., Mortensen K.H. Simulation based performance analysis of web servers // In Proceedings of the 9th Internation Workshop on Petri Nets and Performance Models (PNPM 2001). IEEE Computer Society. 2001. P. 59–68.
10. Dilley J., Friedrich R., Jin T., Rolia J. Web server performance measurement and modeling techniques // Performance Evaluation. 1998. V. 33. P. 5–26.
11. Cao J., Andersson M., Nyberg C., Kihl M. Web server performance modeling using an M/G/1/K*PS queue // In Proceedings of 10th IEEE international conference on telecommunications. 2003. V. 2. P. 1501–1506.
12. Куприянов Д.О. Математическое моделирование потока заявок к облачному вычислительному кластеру // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2020. V. 14. № 10. С. 39–44.
13. Bernardo J., Bayarri M., Berger J., Dawid A., Heckerman D., Smith A., West M. The Markov modulated poisson process and Markov poisson cascade with applications to web traffic modeling // Bayesian Statistics. 2003. V. 7. P. 671–680.
14. Polin E.P., Moiseeva S.P., Moiseev A.N. Heterogeneous queueing system with Markov renewal arrivals and service times dependent on states of arrival process // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2023. № 31(2). P. 105–119.
15. Moiseev A., Shklennik M., Polin E. Infinite-server queueing tandem with Markovian arrival process and service depending on its state // Ann. Oper Res. 2023. № 326. P. 261–279.
16. Полин Е.П., Моисеева С.П., Чегодаева Е.Г. Математическая модель числа клиентов страховой компании в виде системы массового обслуживания с повторными обращениями // Материалы XI Междунар. научно-практич. конф. «Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками» (г. Саратов, 16–19 ноября 2022 г.). 2022. Вып. 7. С. 136‒139.
17. Осипенков Я. Google Analytics 2019. Полное руководство: практическое руководство. М.: ДМК Пресс. 2019. 748 с.
18. Попова Т.М., Слободчиков В.А. Моделирование работы web-сервера на основе системы массового обслуживания // ИВД. 2024. № 8(116). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-raboty-web-servera-na-osnove-sistemy-massovogo-obsluzhivaniya (дата обращения: 05.05.2026).
19. Головко Н.И., Каретник В.О., Танин В.Е., Сафонюк И.И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. 11(2). С. 50–64.