М.А. Басараб − д.ф.-м.н., доцент,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

E-mail: bmic@mail.ru

Б.С. Лунин − д.т.н., вед. науч. сотрудник,  химический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова

E-mail: luninboris@yandex.ru 

А.В. Колесников − к.т.н., доцент,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

E-mail: avkolesnikov@list.ru

Постановка проблемы. Функционирование волновых твердотельных гироскопов (ВТГ) основано на эффекте прецессии упругих волн, возбужденных в осесимметричных телах (эффект Брайана). В реальности в качестве таких тел (резонаторов) используются соответствующим образом закрепленные достаточно тонкие оболочки вращения, выполненные из упругих материалов с высокой добротностью. Возбужденная в них стоячая волна перемещается по окружному углу в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, аналогично твердому телу, демонстрируя таким образом свои инертные свойства. Она поворачивается в пространстве на угол, меньший угла поворота основания, что позволяет измерять угол поворота последнего. Полное математическое описание ВТГ содержит системы дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории тонких оболочек. Для численного интегрирования таких систем с достаточной точностью требуются значительные вычислительные мощности. Учитывая тот факт, что основная часть энергии колебаний резонатора (а также максимальная амплитуда стоячей волны) соответствует области, примыкающей к его кромке, вместо оболочки часто рассматривается кольцевая модель. Ранее для некоторых типов законов угловых скоростей были получены аналитические решения уравнений динамики. Однако, во-первых, класс возможных аналитических решений достаточно узок и не позволяет исследовать многие практически важные нестационарные режимы работы прибора, включая динамику переходных процессов и др.; во-вторых, аналитические решения, как правило, представляются в виде бесконечных рядов по специальным функциям и требуют в зависимости от диапазона угловой скорости использования тех или иных асимптотических приближений. Последний факт практически сводит на нет все преимущества аналитического подхода. 

Цель. Исследовать динамику свободных колебаний кольцевого резонатора, закрепленного на основании, вращающемся с произвольной угловой скоростью, и рассмотреть численно-аналитическое решение дифференциального уравнения свободных колебаний упругого кольца при произвольном законе поворота основания, основанное на комбинированном использовании метода интегральных преобразований по углу и метода прямых (Роте) по временно́й переменной.

Результаты. Предложено численно-аналитическое решение уравнения динамики свободных колебаний кольцевого резонатора, закрепленного на произвольно вращающемся основании, на основе комбинированного использования метода интегральных преобразований по углу и метода прямых (Роте) по временно́й переменной. Рассмотрены вопросы, связанные с оценкой погрешности и вычислительной сложностью алгоритма реализации. Даны примеры, позволяющие оценить предложенный подход для случаев постоянной и переменной скоростей вращения при возбуждении резонатора по второй форме колебаний. 

Практическая значимость. Приведенные примеры демонстрируют эффективность предложенного подхода, который позволяет эффективно исследовать динамические режимы функционирования волнового твердотельного гироскопа как кольцевого типа, так и имеющих резонатор в форме оболочки вращения (полусферический – HRG, цилиндрический – CRG и др.).

1. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука. 1985. 
2. Матвеев В.А., Липатников В.И., Алехин А.В. Проектирование волнового твердотельного гироскопа. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 1997.
3. Лунин Б.С., Матвеев В.А., Басараб М.А. Волновой твердотельный гироскоп. Теория и технология. М.: Радиотехника. 2014.
4. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proc. Camb. Phil. Soc. Math. Phys. Sci. 1890. V. 7.  Р. 101–111.
5. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. 1981.
6. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Лань. 2005.
7. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979.